湖南师大附中2014届高三第三次月考试题

数学试卷(理)

本试卷满分150分

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．若集合
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．命题：“若
，则
”的逆否命题是（ ）

A.若
，则
B.若
，则

C.若
，则
D.若
，则

3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）

A．2 B．
C．
D．

4．直线y=2x与抛物线y=3－x2所围成的阴影部分的面积（ ）

A．
B．
C．
D．

5．
= （ ）

A．4 B．2 C．
D．

6. 函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( 　)

A．大于0 B．小于0

C．等于0 D．无法确定

7.已知sin αcos α=
,且α∈
，则sin α-cos α等于（ ）

A.
B.
C.
D.

8.同时具有性质“（1）最小正周期是
；（2）图像关于直线
对称；（3）在
上是增函数”的一个函数是（　　　）

A　
B　
　

　C　
D　

9.函数
的图像大致为（ ）

10.对于函数
，下列说法正确的是（ ）

A．该函数的值域是

B．当且仅当
时，

C．当且仅当
时，该函数取最大值1

D．该函数是以π为最小正周期的周期函数

11.已知函数
内是减函数，则
（ ）

A．0<
≤1 B．－1≤
<0 C．
≥1 D．
≤－1

12．已知函数
是定义在实数集
上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
都有
，则
的值是（ ）

A.0 B.
C.1 D.
sj.fjjy.org第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．函数y=f(x)的图像在点M (1, f (1) )处的切线方程为
，则
=______

14．若函数
在R上是减函数，则实数
取值集合是

15．若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数k的取值范围_______________

16．某学生对函数　f(x)＝2x·cosx的性质进行研究，得出如下的结论：

①函数　f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；

②点(，0)是函数　y＝f(x)图象的一个对称中心；

③函数　y＝f(x)图象关于直线x＝π对称；

④存在常数M >0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立．

其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号)

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）已知命题p：
x∈[1,2]，x2－a≥0；命题q：
x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围。

18.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
.

求
的值；

若cosB=
，
,求
的面积.

19．（本小题满分14分）已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）当
时，求函数
的值域；

（3）先将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，再将
的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，得到函数
的图象，求证：直线
与
的图象相切于

20. （本小题满分10分）

某厂生产产品x件的总成本
(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:
，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？

21．（本小题满分12分）

已知f (x) = xlnx.

（I）求f (x) 在[t，t+2]（t>0）上的最小值；

（Ⅱ）证明：
都有
。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.

22. （本小题满分10分）　选修4—1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，
都是⊙
的割线，已知

．

（1）证明：
；

（2）证明：
．

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

，过点
的直线
的参数方程为：

，(t为参数)，直线
与曲线
分别交于
两点.

(1)写出曲线
和直线
的普通方程；

(2)若
成等比数列,求
的值．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域为R，试求
的取值范围。

一、选择题（每小题5分，共60分）

ADBDD DDCDB BA

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 3 14.
15.
16. ④

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）解：p真，则
---------2分

q真，则
即
----------4分

“
”为真，
为假
中必有一个为真，另一个为假----5分

当
时，有

-------8分

当
时，有

--------11分

实数a的取值范围为
.--------12分

18.（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）由正弦定理得


所以…………2分

=
,即
,即有
,即
,所以
=2. …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
=2,即c=2a,又因为
,所以由余弦定理得：

，即
,解得
,所以c=2,又因为cosB=
，所以sinB=
，故
的面积为

=
. …………12分

19．（本小题满分14分）

解：（1）由已知可得：

＝

＝

＝
------------4分

故函数的最小正周期
------------5分

(2)

------------------8分

（3）将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
，再将
的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，得到函数
。

-----------------------------11分

因为
，所以切线的斜率
，而切点为

所以
的切线方程为
，即

所以直线
与
的图象相切于
------------14分

20. （本小题满分10分）

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：
，令
.

当
单调递减；

当
单调递增. …………………………………………（2分）

因为
，

（1）当0＜t＜
时
；

（2）当t≥
时，

所以
………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当
时，

的最小值是
，（当且仅当x=
时取到最小值）

问题等价于证明
，

设
，

则
，易得
，（当且仅当x=1时取到最大值）

从而对一切
，都有
成立. ……………………………（12分）

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.

22. （本小题满分10分）　选修4—1：几何证明选讲

证明: (1)

又

……（5分）

（2） 由（1）有
又

又

……………………（１０分）

23（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（1）由题+2设知：
，在同一坐标系中作出函数
和
的图象 3分

知定义域为
． 5分

（2）由题设知，当
时，恒有
，

即
， 7分

又由（1）
，∴