长沙县实验中学2014届高三上学期第二次月考

数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合
,
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2.设
,则 “
”是“
”的 （　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.已知命题
，使得
；
，使得
．以下命题为真命题的为(　　)

A．
B．
C．
D．

4．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于(　　)

A．－4 B．4 C．－ D.

5．给定性质：(1)最小正周期为π，(2)图象关于直线x＝对称，(3)图象关于点(，0)对称，则下列四个函数中，同时具有性质(1)，(2)，(3)的是(　　)

A．y＝sin(＋) B．y＝sin(2x＋) C．y＝|sinx| D．y＝sin(2x－)

6.设函数

,则下列结论错误的是 （　　）

A．
的值域为
B．
是偶函数

C．
不是周期函数 D．
不是单调函数

7.若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)

A. B. C. D．1

8.已知函数
.若
且，
，则
的取值范围是 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.

9.
_______________．

10．函数
的最小正周期为．__________

11. 如图所示的是函数f(x)＝Asin(
ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈(0，))图象的一部分，则f()＝________.

12．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－，＋∞)，则a＝________.

13.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．

14．函数
，其中
是常数，其图像是一条直线，称这个函娄为线性函数，而对于非线性可导函数
，在已知点
附近一点
的函数值
可以用下面方法求其近似代替值，
，利用这一方法，对于实数
，取
的值为4，则m的近似代替值是 。

15．给出定义：若m－

①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，]；

②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称；sj.fjjy.org

③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；

④函数y＝f(x)在[－，]上是增函数．

其中正确的命题的序号是________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．

(1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x (x∈R)的值域．

sj.fjjy.org

17．（本小题满分12分）已知在关于x的方程ax2－bx＋c＝0中，a、b、c分别是钝角三角形ABC的三内角A、B、C所对的边，且b是最大边．

(1)求证：该方程有两个不相等的正根；

(2)设方程有两个不相等的正根α、β，若三角形ABC是等腰三角形，求α－β的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．

(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

19．（本小题满分13分）

某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．

(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围？

(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)

20．（本小题满分13分）sj.fjjy.org

已知函数
其中
是常数.

（1）当
时，求
在点
处的切线方程；（2）求
在区间
上的最小值.

21．（本小题满分13分）

设函数
（
），
．

（Ⅰ）关于
的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

21．（Ⅰ）解法一：不等式
的解集中的整数恰有3个，

．　　　 　 ………11分

下面证明
恒成立．sj.fjjy.org

设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时
取得最大值
，则
sj.fjjy.org

故所求“分界线”方程为：
．