2014届高三六校第一次联考

理科数学 试题

命题学校：深圳实验学校

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. “
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2. 已知
，其中i为虚数单位，则
＝（ ）

A.－1 B．1 C．2 D．3

3. 若
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

4.下列四个命题中，正确的是（ ）

A．已知
服从正态分布
，且
，则

B．已知命题
;命题
．则命题“
”是假命题

C．设回归直线方程为
，当变量
增加一个单位时，
平均增加2个单位

D．已知直线
,
，则
的充要条件是
=-3

5. 已知单位向量
满足
，则
夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 若动圆的圆心在抛物线
上，且与直线
相切，则此圆恒过定点（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 设
，
满足约束条件
，若目标函数
（
，
）的最大值为12，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 记集合
, M=
,将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）

A.
B.

C.
D.

第二部分 非选择题（共110分）

二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分

（一）必做题（9～13题）

9． 在
展开式中
的系数为
,则实数
的值为 .

10．计算定积分
.

11.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆
的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程是____________________.

12．在△
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、
，已知
，
，
，则
.

．将石子摆成如图
的梯形形状.称数列
为“梯形数”.根据图形的构成,数

列第
项
;第
项
.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线
（
）截圆
所得弦长是 .

15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）
是圆
的直径，过
、
的两条弦
和
相交于点
，若圆
的半径是
，那么
的值等于________________.

图2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. （本小题满分12分）

甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最

终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为
.

⑴求
=6的概率；

⑵求
的分布列和期望.

17．（本小题满分12分）

已知函数
（
为常数）．

（1）求函数
的最小正周期和单调增区间；

（2）若函数
的图像向左平移
个单位后，得到函数
的图像关于
轴对称，求实数
的最小值.

18．(本小题满分14分)

设函数

（Ⅰ）若
在
时有极值，求实数
的值和
的单调区间;

（Ⅱ）若
在定义域上是增函数,求实数
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知几何体A—BCED的三视图如图所示，

其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角

三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得

AQ
BQ并说明理由.

20．（本小题满分14分）

如图，椭圆
的左顶点、右焦点分别为
，

直线
的方程为
，
为
上一点，且在
轴的上方，

与椭圆交于
点.

（1）若
是
的中点，求证：
.

（2）过
三点的圆与
轴交于
两点，求
的范围.

21.（本小题满分14分）

设
，
，Q=
；若将
，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列
的前三项.

（1）试比较M、P、Q的大小；

（2）求
的值及
的通项；

（3）记函数
的图象在
轴上截得的线段长为
，

设

，求
，并证明
.

.

2014届高三六校第一次联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

D

B

C

C

A

A





二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9.
; 10.
; 11.
; 12．
; 13.
,
; 14.
; 15.
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. （本小题满分12分）

甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最

终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一

分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.

记所需抛币次数为
.

⑴求
=6的概率；

⑵求
的分布列和期望.

16.解:(1)
………………………4分

(2)分布列为:

4

5

6

7















 ……………………10分

∴
………………………12分

17．（本小题满分12分）

已知函数
（
为常数）．

（1）求函数
的最小正周期和单调增区间；

（2）若函数
的图像向左平移
个单位后，得到函数
的图像关于
轴对称，求实数
的最小值.

17. 解：（1）

………………………4分

的最小正周期为
………………………5分

当
，即
时，函数
单调递增，故所求单调增区间为
………………………8分

（2）函数
的图像向左平移
个单位后得
，

………………………9分

要使
的图像关于
轴对称，只需
………………………11分

即
，所以
的最小值为
． ………………………12分

18．(本小题满分14分)

设函数

（Ⅰ）若
在
时有极值，求实数
的值和
的单调区间;

（Ⅱ）若
在定义域上是增函数,求实数
的取值范围．

18. 解：（Ⅰ）

在
时有极值，
有
， ………………………2分

又
，
有
，

………………………4分

有

，

由
有
， ………………………6分

又


关系有下表

















0



0







递增



递减



递增





的递增区间为
和
， 递减区间为
……………………9分

（Ⅱ）若
在定义域上是增函数,则
在
时恒成立，…………………10分

，

需
时
恒成立，

化为
恒成立，

，

. ………………………14分

19．（本小题满分14分）

已知几何体A—BCED的三视图如图所示，

其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角

三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得

AQ
BQ并说明理由.

19. 解：（1）由该几何体的三视图知
面
,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴
．

即该几何体的体积V为
．----------------------------------3分

（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分

在△BAF中，∵AB=
，BF=AF=
．

∴

．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
． ………………………7分

解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴
，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
．

（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQ
BQ. ……………………8分

取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.

连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵

∴
∽

∵
∴

∴
． ……………………11分

∵
,

∴

∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q

∴

∵
面
,
面
∴
∴
面
---------13分

∵
面ACQ

∴
． ………………………14分

解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则

，

∵AQ
BQ ∴
----------------------------①

∵点Q在ED上，∴存在

使得

∴

-----------②

②代入①得
，解得

∴满足题设的点Q存在，其坐标为
．

20．（本小题满分14分）

如图，椭圆
的左顶点、右焦点分别为