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2013—2014学年度上学期高三一轮复习 数学（理）单元验收试题（11）【新课标】 命题范围：逻辑与推理 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．下列说法正确的是（ ） A．由合情推理得出的结论一定是正确的. B．合情推理必须有前提有结论. C．合情推理不能猜想. D．合情推理得出的结论无法判定正误 2．关于x的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 3．正方形的边长为，点在边上，点在边上，。动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为（ ） A． B． C． D． 4．（2013年高考湖北卷（理））在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A．∨ B．∨ C．∧ D．∨ 5．（2013年重庆数学（理）试题）命题“对任意,都有”的否定为（ ） A．对任意,都有 B．不存在,都有 C．存在,使得 D．存在,使得 6．已知集合,,则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则. B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质. C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人. D．在数列中，，由此归纳出的通项公式. 8．观察下列各式：则（ ） A．28 B．76 C．123 D．199 9．命题p：若a、b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1)∪[3，＋∞]，则（ ） A．p或q为假 B．p且q为真 C．p真q假 D．p假q真 10．已知命题p：|x－1|≥2，q：x∈z．若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（ ） A．{x|x≥3或x≤－1，xz} B．{x|－1≤x≤3，xz} C．{－1，0，1，2，3} D．{0，1，2} 11．若数列满足，则称数列为“调和数列”。已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 （ ） A．10 B．100 C．200 D．400 12．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 13．观察下列不等式 ， …… 照此规律，第五个不等式为 . 14．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ， 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： 。 式可以用语言叙述为： 。 15．用半径相同的小球，堆在一起，成一个 “正三棱锥” 型，第一层 1 个 ，第二层 3 个，则第三层有______个，第 n 层有_______个。（设 n > 1 ，小球不滚动） 16．（2013年山东数学（理）试题）定义“正对数”:现有四个命题: ①若,则; ②若,则 ③若,则 ④若,则 其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。 17．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）sin213°+cos217°–sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°–sin18°cos12° （4）sin2（–18°）+cos248°–sin2（–18°）cos48° （5）sin2（–25°）+cos255°– sin2（–25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。 18．（12分）已知>0,求证:。 19．（12分）已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”. (1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标; (2)求函数 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明). 20．（12分）定义在(－1，1)上的函数f(x)满足： (ⅰ)对任意x、y(－1，1)有f(x)+f(y)=f() ； (ⅱ)当x(－1,0)时，有f(x)＞0。 试研究f()+f()+…+f()与f()的关系. 21．（14分）在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。 (I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； (II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。 22．（14分）（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值； （Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当为正有理数时，有求导公式. 参考答案 一、选择题 1．B；2．A；3．B；4．A；5．D；6．A；7．A；8．C；9．D；10．D；11．B；12．D； 二、填空题 13．； 14．（R3）`＝4R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数； 15．9，； 16．①③④。 三、解答题 17． 18．证明:∵
又∵>0,∴>0,, ∴ ∴ ∴ 19．解：(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”. 20．简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(－1，1)上的奇函数且是减函数. f()=f() =f() =f()+f(－) =f()－f() ∴f()+f()+…+f() =［f()－f()］+［f()－f()］+…+［f()－f()］ =f()－f()＞f() ∵0＜＜1， ∴f()＜0 21．解: (Ⅰ) , ,其中 (Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识. 点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45. 所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45. 22．解析：（Ⅰ），令，解得. 当时，，所以在内是减函数； 当 时，，所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ① 若，中有一个为0，则成立； 若，均不为0，又，可得，于是 在①中令，，可得， 即，亦即. 综上，对，，为正有理数且，总有. ②
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为： 设为非负实数，为正有理数. 若，则. ③ 用数学归纳法证明如下： （1）当时，，有，③成立. （2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数， 且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数， 且，此时，即，于是 =. 因，由归纳假设可得 ， 从而. 又因，由②得 ， 从而. 故当时，③成立. 由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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