2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（4）【新课标】

命题范围：解析几何

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知
为平面内两定点,过该平面内动点
作直线
的垂线,垂足为
.若
,其中
为常数,则动点
的轨迹不可能是（　　）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

2．过点
且与直线
平行的直线方程是（ ）

A．
　　 B．
　　C．
　 D．

3．设抛物线
上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12

4．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）双曲线
的顶点到其渐近线的距离等于（　　）

A．
B．
C．
D．

5．曲线
与直线
有公共点的充要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．圆心在抛物线
上，且与该抛物线的准线和
轴都相切的圆的方程是（ ）

7．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知点
,直线
将△
分割为面积相等的两部分,则
的取值范围是（　　）

A．
B．
( C)
D．

8．若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（　　）

A．(
，0) B．(0，
) C．(0，
) D．

9．（2013年高考湖北卷（理））已知
,则双曲线
与
的（　　）

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等

10．已知x，y满足
，则
的最小值是（ ）

A．0 B．
C．
D．2

11．若
、
为双曲线
:
的左、右焦点，点
在双曲线
上，∠
=
，则
到
轴的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）已知圆
,圆
,
分别是圆
上的动点,
为
轴上的动点,则
的最小值为（　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．点
是曲线
上的一个动点，且点
为线段
的中点，则动点
的轨迹方程为_____________。

14．（2013年高考陕西卷（理））双曲线
的离心率为
, 则m等于　　　　．

15．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））抛物线
在
处的切线与两坐标轴围成三角形区域为
(包含三角形内部与边界).若点
是区域
内的任意一点,则
的取值范围是　　　　．

16．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心
出发，先沿北偏西
方向行走13米至点
处，再沿正南方向行走14米至点
处，最后沿正东方向行走至点
处，点
、
都在圆
上．则在以圆心
为坐标原点，正东方向为
轴正方向，正北方向为
轴正方向的直角坐标系中圆
的方程为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

18．（12分）（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:
上的三个点,O是坐标原点.

(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积；

(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。

19．（12分）（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））.如图,在平面直角坐标系
中,点
,直线
,设圆
的半径为,圆心在上.

(1)若圆心
也在直线
上,过点
作圆
的切线,求切线的方程；

(2)若圆
上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.



20．（12分）
年
月
日
时
分
秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火箭送入近地点高度约
公里、远地点高度约
万公里的直接奔月椭圆(地球球心
为一个焦点)轨道Ⅰ飞行。当卫星到达月球附近的特定位置时，实施近月制动及轨道调整，卫星变轨进入远月面
公里、近月面
公里(月球球心
为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，之后卫星再次择机变轨进入以
为圆心、距月面
公里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，并开展相关技术试验和科学探测。已知地球半径约为
公里，月球半径约为
公里。

（Ⅰ）比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小；

（Ⅱ）以
为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程。

21．（12分）设抛物线C：
的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．

(1)若
，求线段
中点M的轨迹方程；

(2) 若直线AB的方向向量为
，当焦点为
时，求
的面积；

(3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线
的斜率成等差数列．

22．（14分）（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线
,曲线
,P是平面上一点,若存在过点P的直线与
都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.

(1)在正确证明
的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线
与
有公共点,求证
,进而证明原点不是“C1—C2型点”;

(3)求证:圆
内的点都不是“C1—C2型点”.

参考答案

一、选择题

1．C；2．D；3．B；4．C；5．C；6．B；7．B；8．C；9．D；10．B；11．B；12．A；

二、填空题

13．
；14．9；15．
；16．
。

三、解答题

17．解：设点P的坐标为（x，y），由题设有
，即
．

整理得 x2+y2－6x+1=0． ①

因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±
，

直线PM的方程为y=±
（x＋1）．②

将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．

解得x＝2＋
，x＝2－
．

代入②式得点P的坐标为（2＋
，1＋
）或（2－
，－1＋
）；（2＋
，－1－
）或（2－
，1－
）．

直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．

18．解：(I)椭圆W:
的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,
),代入椭圆方程得
,即
. 所以菱形OABC的面积是
.

(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为
.

由
消去
并整理得
.

设A
,C
,则
,
.

所以AC的中点为M(
,
).

因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为
.

因为
,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.

19．解：(1)由
得圆心C为(3,2),

∵圆
的半径为∴圆
的方程为:
,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为
,即
.

∴
∴
∴
∴
或者
。

∴所求圆C的切线方程为:
或者
即
或者
。

(2)解:∵圆
的圆心在在直线
上，

所以，设圆心C为(a,2a-4)，则圆
的方程为:
。

又∵
∴设M为(x,y)则
整理得:
。

设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即:圆C和圆D有交点。

∴
。

由
得
，由
得
。

终上所述,
的取值范围为:
．

20．解析：(Ⅰ)设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为
,半长轴的长为
,则
,解得

,
,∴
.

设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为
,半长轴的长为
,则
,

解得
,
,∴
.故
.

(Ⅱ)依题意设椭圆轨道Ⅱ的标准方程为
,则由⑴知
,

,故所求椭圆轨道Ⅱ的标准方程为

21．解：(1) 设
，
，焦点
，则由题意
，即

所求的轨迹方程为
，即

(2)
，
，直线
，

由
得，
，

，
。

(3)显然直线
的斜率都存在，分别设为
．

点
的坐标为
．

设直线AB：
，代入抛物线得
， 所以
，

又
，
，

因而
，

因而

而
，故
．

22．解：(1)C1的左焦点为
,过F的直线
与C1交于
,与C2交于
,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为
;

(2)直线
与C2有交点,则

,若方程组有解,则必须
;

直线
与C2有交点,则

,若方程组有解,则必须

故直线
至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.

(3)显然过圆
内一点的直线
若与曲线C1有交点,则斜率必存在;

根据对称性,不妨设直线
斜率存在且与曲线C2交于点
,则

直线
与圆
内部有交点,故

化简得,
............①

若直线
与曲线C1有交点,则

化简得,
.....②

由①②得,

但此时,因为
,即①式不成立;

当
时,①式也不成立

综上,直线
若与圆
内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,

即圆
内的点都不是“C1-C2型点”.