2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（12）【新课标】

命题范围：导数与复数

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））设复数
满足
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．函数
，已知
在
时取得极值，则
=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．若
是关于
的实系数方程
的一个复数根，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数
,下列结论中错误的是（　　）

A．
R,

B．函数
的图像是中心对称图形

C．若
是
的极小值点,则
在区间
上单调递减

D．若
是
的极值点,则

5．设函数
在R上可导，其导函数为
，且函数
的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．函数
有极大值
和极小值

B．函数
有极大值
和极小值

C．函数
有极大值
和极小值

D．函数
有极大值
和极小值

6．如图,在复平面内,点
表示复数
,则图中表示
的共轭复数的点是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（ ）

A．第I象限 B．第II象限

C．第Ⅲ象限 D．第IV象限

8．若复数
满足方程
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

9．（2013年高考江西卷（理））若
则
的大小关系为（　　）

A．
B．

C．
D．

10．已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，
2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）

A．1 B．3 C．
4 D．
8

11．已知f（x）=x3–6x2+9x–abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0。现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0。

其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

12．已知
为自然对数的底数,设函数
,则（　　）

A．当
时,
在
处取得极小值B．当
时,
在
处取得极大值

C．当
时,
在
处取得极小值D．当
时,
在
处取得极大值

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．计算定积分
___________。

14．（2013年高考上海卷（理））设
,
是纯虚数,其中i是虚数单位,则

15．若曲线
在点
处的切线平行于
轴,则
。

16．下面是关于复数
的四个命题：其中的真命题为 ;

的共轭复数为

的虚部为。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）求同时满足下列条件的所有的复数z, ①z+
∈R, 且1

18．（12分）（12分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

19．（2013年浙江数学（理）试题）已知
,函数

(1)求曲线
在点
处的切线方程;(2)当
时,求
的最大值.

20．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为
米,高为
米,体积为
立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000
元(
为圆周率).

(Ⅰ)将
表示成
的函数
,并求该函数的定义域；

(Ⅱ)讨论函数
的单调性,并确定
和
为何值时该蓄水池的体积最大。

21．（12分）（2013年高考湖南卷（理））已知
,函数
.

(I)记
求
的表达式;

(II)是否存在
,使函数
在区间
内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.

22．（14分）设函数
,
,其中
为实数.

(1)若
在
上是单调减函数,且
在
上有最小值,求
的取值范围;

(2)若
在
上是单调增函数,试求
的零点个数,并证明你的结论.

参考答案

一、选择题

1．A；2．B；3．B；4．C；5．D；6． B；7．A；8． C；9．B；10．C；11．C；12．C；

二、填空题

13．
； 14．
；15．
；16．
。

三、解答题

17．解：设z=x+yi, (x, y∈R), 则z+
=x(1+
)+y(1－
)i .

∵z+
∈R,

∴y(1－
)=0.

∴y=0, 或x2+y2=10.

又1

∴1< x(1+
)≤6.①当y=0时, ①可以化为10时, x+
≥2
>6. 故y=0时, ①无解. 当x2+y2=10时, ①可化为1<2x≤6, 即

∵x, y∈Z, 故可得z=1+3i ,或 1－3i ,或 3+i ,或 3－i .

18．解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以
(1)

又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组

得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．

于是
代入（1）式得：

，
；　

令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且
。

19．解：(Ⅰ)由已知得:
,且
,所以所求切线方程为:
,即为:
;

(Ⅱ)由已知得到:
,其中
,当
时,
,

(1)当
时,
,所以
在
上递减,所以
,因为
;

(2)当
,即
时,
恒成立,所以
在
上递增,所以
,因为

;

(3)当
,即
时,

,且
,即













2







+

0

-

0

+









递增

极大值

递减

极小值

递增





所以
,且

所以
,

所以
;

由
,所以

(ⅰ)当
时,
,所以
时,
递增,
时,
递减,所以
,因为

,又因为
,所以
,所以
,所以

(ⅱ)当
时,
,所以
,因为
,此时
,当
时,
是大于零还是小于零不确定,所以

① 当
时,
,所以
,所以此时
;

② 当
时,
,所以
,所以此时

综上所述:
.

20．

21．解：

(Ⅰ)

(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点
满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且
.

不妨设

所以,当
时,函数
在区间
内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.

22．解：(1)由
即
对
恒成立,∴

而由
知
<1 ∴

由
令
则

当
<
时
<0,当
>
时
>0,

∵
在
上有最小值

∴
>1 ∴
>

综上所述:
的取值范围为

(2)证明:∵
在
上是单调增函数

∴
即
对
恒成立,

∴

而当
时,
>
∴