2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（5）【新课标】

命题范围：数列

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是(　　)．

A．an＝1＋(－1)n+1 B．an＝2sin C．an＝1－cos nπ D．an＝

2．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于（ ）

A．-24 B．0 C．12 D．24

3．已知
为等差数列
的前n项的和，
，
，则
的值为（ ）

A． 6 B．7 C．8 D．9

4．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）

等比数列
的前
项和为
,已知
,
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．（2013年高考新课标1（理））

设等差数列
的前
项和为
,则
( )

A．3 B．4 C．5 D．6

6．a、b∈R，且|a|<1,|b|<1，则无穷数列：1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn－1)an－1…的和为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（ ）

A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞
D．（3，+∞）

8．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））

下面是关于公差
的等差数列
的四个命题:

其中的真命题为( )

A．
B．
C．
D．

9．若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为（ ）

A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}

10．在数列
中,
,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素
,(
)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )

A．18 B．28 C．48 D．63

11．设
的三边长分别为
，
的面积为
，
，若
，
，则（ ）

A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列

C．{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D．{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

12．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）函数
的图像如图所示,在区间
上可找到
个不同的数
使得
则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．等差数列
的前
项和为
,已知
,则
的最小值为 ．

14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））在正项等比数列
中,
,
,则满足
的最大正整数
的值为 ．

15．设等比数列
的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .

16．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第
个三角形数为
.记第
个
边形数为

,以下列出了部分
边形数中第
个数的表达式:

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

可以推测
的表达式,由此计算
___________

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）（2013年高考四川卷（理））在等差数列
中,
,且
为
和
的等比中项,求数列
的首项、公差及前
项和.

18．（12分）（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列
满足:
,
.

(I)求数列
的通项公式;

(II)是否存在正整数
,使得
?若存在,求
的最小值;若不存在,说明理由.

19．（12分）（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)令
,数列{bn}的前
项和为
.证明:对于任意的
,都有

20．（12分）（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设数列
的前
项和为
.已知
,
,
.

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 求数列
的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数
,有
.

21．（12分）设
是公比为q的等比数列.

（Ⅰ） 导
的前n项和公式;

（Ⅱ） 设q≠1, 证明数列
不是等比数列.

22．（14分）（2013年高考北京卷（理））

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项
,
,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .

(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,
),写出d1,d2,d3,d4的值;

(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;

(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.

参考答案

一、选择题

1．B；2．A；3．D；4．C；5．C；6．D；7．B；8．D；9．B；10．A；11．B；12．B；

二、填空题

13．―49；14．12；15．－2；16．1000；

三、解答题

17．解:设该数列公差为
,前
项和为
.由已知,可得

.

所以
,

解得
,或
,即数列
的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

所以数列的前
项和
或

18．解:(I)由已知条件得:
,又
,
,

所以数列
的通项或

(II)若
,
,不存在这样的正整数
;

若
,
,不存在这样的正整数
.

19．(1)解:由
,得
.

由于
是正项数列,所以
.

于是
时,
.

综上,数列
的通项
.

(2)证明:由于
.

则
.

.

20．(1) 解:

,
.

当
时,

又
,

(2)解:

,
.

①

当
时,
②

由① — ②,得

数列
是以首项为
,公差为1的等差数列.

当
时,上式显然成立.

(3)证明:由(2)知,

①当
时,
,
原不等式成立.

②当
时,
,
原不等式亦成立.

③当
时,

当
时,,
原不等式亦成立.

综上,对一切正整数
,有
.

21．解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.

①

②
.

上面两式错位相减:

.

③综上,

(Ⅱ) 使用反证法.

设
是公比q≠1的等比数列, 假设数列
是等比数列.则

①当
=0成立,则
不是等比数列.

②当
成立,则

.这与题目条件q≠1矛盾.

③综上两种情况,假设数列
是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列
不是等比数列.

22、(I)

(II)(充分性)因为
是公差为
的等差数列,且
,所以

因此
,
,
.

(必要性)因为
,所以
.

又因为
,
,所以
. 于是
,
.

因此
,即
是公差为
的等差数列.

(III)因为
,所以
,
.故对任意
.

假设
中存在大于2的项.

设
为满足
的最小正整数,则
,并且对任意
,.

又因为
,所以
,且