2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（10）【新课标】

命题范围：计数原理、二项式定理、概率与统计

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1． （2013年大纲版数学（理））
的展开式中
的系数是（　　）

A．
B．
C．
D．

2．（2013年山东数学（理）试题）用0,1,……,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A．243 B．252 C．261 D．279

3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（ ）

A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件

C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

4．（2013年安徽数学（理）试题）某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（　　）

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

5．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（ ）



A．
B．
C．
D．

6．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就（　　）

A．越大　　 B．越小 C．无法判断　 　D．以上都不对

7．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）

A.30％ B.10％ C.3％ D.不能确定

8．（2013年重庆数学（理）试题）以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)

甲组



乙组





9

0

9









2

1

5



8



7

4

2

4







已知甲组数据的中位数为
,乙组数据的平均数为
,则
的值分别为（　　）

A．
B．
C．
D．

9．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）

A．－1 B．0 C． D．1

10．设不等式组
，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．满足
,且关于x的方程
有实数解的有序数对
的个数为（　　）

A．14 B．13 C．12 D．10

12．（2013年高考湖北卷（理）如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为
,则
的均值为
（　　）

A．
B．
C．
D．



第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．（2013年上海市春季高考数学试卷）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为
,所以36的所有正约数之和为
参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为 。

14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。

15．（2013年高考湖北卷（理））从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.

(I)直方图中
的值为___________;

(II)在这些用户中,用电量落在区间
内的户数为_____________.

16．某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）（2013年广东省数学（理）卷）某车间共有
名工人,随机抽取
名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.



(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间
名工人中有几名优秀工人;

(Ⅲ) 从该车间
名工人中,任取
人,求恰有名优秀工人的概率.

?

18．（12分）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的
，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定

（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

19．（12分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布
。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？

（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9



1.2

1.3

1.4

1.9

2.0

2.1

0.8849

0.9032

0.9192

0.9713

0.9772

0.9821

0.8869

0.9049

0.9207

0.9719

0.9778

0.9826

0.888

0.9066

0.9222

0.9726

0.9783

0.9830

0.8907

0.9082

0.9236

0.9732

0.9788

0.9834

0.8925

0.9099

0.9251

0.9738

0.9793

0.9838

0.8944

0.9115

0.9265

0.9744

0.9798

0.9842

0.8962

0.9131

0.9278

0.9750

0.9803

0.9846

0.8980

0.9147

0.9292

0.9756

0.9808

0.9850

0.8997

0.9162

0.9306

0.9762

0.9812

0.9854

0.9015

0.9177

0.9319

0.9767

0.9817

0.9857





20．（12分）（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;

(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

21．（12分）在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

22．（14分）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量
在
这
个整数中等可能随机产生.

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出
的值为的概率
;

(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行
次后,统计记录了输出
的值为
的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

运行次数

输出
的值为的频数

输出
的值为
的频数

输出
的值为
的频数

































甲的频数统计表(部分)

乙的频数统计表(部分)

运行次数

输出
的值为的频数

输出
的值为
的频数

输出
的值为
的频数

































当
时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出
的值为
的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;

(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出
的值为2的次数
的分布列及数学期望.

参考答案

一、选择题

1．D； 2．B；3．B；4．C；5．A；6．A；7．C；8．C；9．D；10．D；11．B；12．B；

二、填空题

13．4836；14．
；15．
、70；16．出海；

三、解答题

17．解：:(1)由题意可知,样本均值

(2)
样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名,

可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为:

(3)
从该车间12名工人中,任取2人有
种方法,

而恰有1名优秀工人有

所求的概率为:

18．解：（Ⅰ）设登山组人数为
，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有
,
，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、

50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为
（人）；

抽取的中年人数为
50％＝75（人）；

抽取的老年人数为
10％＝15（人）。

19．解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为
，因为
～N(70，100)，由条件知，

P(
≥90)＝1－P（
<90）＝1－F(90)＝1－

＝1－
(2)＝1－0.9772＝0.228.

这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，

参赛总人数约为
≈526（人）。

（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则

P(
≥x)＝1－P（

即

＝0.9049，查表得
≈1.31，解得x＝83.1.

故设奖得分数线约为83.1分。

20．解：设
表示事件“此人于3月日到达该市”(=1,2,,13).

根据题意,
,且
.

(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则
,

所以
.

(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且

P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=
,

P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=
,

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=
,

所以X的分布列为:

故X的期望
.

(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

21．解析：(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.

观众甲选中3号歌手的概率为
,观众乙未选中3号歌手的概率为
.

所以P(A) =
.

因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.

观众甲选中3号歌手的概率为
,观众乙选中3号歌手的概率为
.

当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) =
.

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) =
.

当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) =
.

当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) =
.

X的分布列如下表:

X

0

1

2

3



P













所以,数学期望

22．解：
.变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故
;

当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故
;

当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故

当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:

输出
的值

为的频率

输出
的值

为
的频率

输出
的值

为
的频率



甲









乙