一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．.复数
（ ）

A .
B.
C.
D.

2已知
是非空集合，命题甲：
，命题乙：
，那么 （ ）

A.甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件

3.为了解一片大约一万株树木的生长情况，

随机测量了其中100株树木的底部周长（单

位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布

直方图如图，那么在这片树木中，底部周长

小于110㎝的株树大约是
（　　）

A.3000
B.6000

C.7000 D.8000

4.已知随机变量
服从正态分布
，且
，

，若
，
, 则

A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718

5.等差数列{a n}中，已知
，
，
，则
为 （ ）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

6. 函数
的图像
（ ）

A． 关于原点对称 B. 关于主线
对称

C. 关于
轴对称 D. 关于直线
对称

7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）

A.
B.

C.
D.

8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ）

A. 0 B. 1 C.
D.

第 Ⅱ 卷

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．

（一）选做题：第9,10,11题是选做题，考生只能从中选做二题．

9．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
、
的极坐标方程分别为
，
，则曲线
上的点与曲线
上的点的最远距离为________.

10．（几何证明选讲选做题）

如图，点
为
的弦
上的一点，连接
.
，

交圆于
，若
，
，则
.

11.对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|
|＋|
|
|a|(|
|＋

|

|
)恒成立，则实数x的取值范围

（二）必做题：第12,13,14,15,16题是必做题，每道试题考生都必须做答．

12.
.

13.函数
,
的最小正周期为

14.在直角
中，
，
，
，

为斜边
的中点，则
=

15.若双曲线

的一条渐近线方程为
，则以

双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.

16.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其
和，若输入m=4则相应最后的输出S的值是______
____.

三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，
是该三角形的面积，

（1）若
，
，
，求角
的度数；

（2）若
，
，
，求
的值.

18
（本小题满分12分）

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
和

假设两人射击是否击中目标，相互

之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响

⑴求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

⑵
假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？

⑶设甲连续射击3次，用
表示甲击中目标时射击的次数，求
的数学期望
.

（结果可以用分数表示）

19. （本小题满分12分）

如图，四边形
中（图1），
是
的中点，
，

，
将（图1）沿直线
折起，使二面角
为
（如图2）

（1）求证：
平面
；

（2）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（3）求点
到平面
的距离.

[来源:学+科+网]

20（本小题满分13分）在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，
其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

（本小题满分l3分）如图，
是抛物线
：
上横坐标大于零的一点，直线
过点
并与抛物线
在点
处的切线垂直，

直线
与抛物线
相交于另一点
.

（1）当点
的横坐标为2时，求直线
的方程；

（2）若
，求过点
的圆的方程.

22. （本小题满分l3分）已知函数
是增函数，
为减函数.

（1）求a的值；

（2）设函数
上的增函数，且对于
内的任意两个变量s、t，
恒成立，求实数b的取值范围；

（3）设
，求证：

株洲市二中2013届高三第七次考试理科

数学试卷(答卷)

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



选项





















二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．

9. 10. 11. 12. [来源:学科网]

13. 14. 15. 16.

三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

18
（本小题满分12分）

19. （本小题满分12分）

20.（本小题满分13分）

21.（本小题满分l3分）

22. （本小题满分l3分）

[来源:学_科_网]

2013届高三第七次月考数学（理科）试题答案

一．选择题：

三、解答题：

(2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，

故P（A2）=
×
×
×
+
×
×
×
=
，

答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是

……………………8分

（3）根据题意
服从二项分布，
……………………12分

（3）方法二：

0

1

2

3

















……………………12分

说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。

第（3）问方法对，算错数的扣2分

如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),
，

,D
,C

设异面直线
与
所成角为
,

则

由
可知
满足，

是平面ACD的一个法向量,

记点
到平面
的距离d，则
在法向量
方向上的投影绝对值为d

则
所以d

20.设船速为v，显然
时人是不可能
追上小船，当
km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑
的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用

时间为t，人在岸上跑的时间为
，则人在水中游的时间

为
，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.

由余弦是理得

即

整理得
.

要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有
且

解得
.

故当船速在
内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使
人追上的最大速度为
，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

20解：（Ⅰ）把
2代入
，得
2，

∴点坐
标为（2，2）. ……………………1分

由
， ① 得

，

∴过点
的切线的斜率

2，…………
…………2分

直线
的斜率




……………………3分

∴直线
的方程为


， 即
……………………4分

（Ⅱ）设
则

∵ 过点
的切线斜率

，因为

∴ 直线
的斜率




，

直线
的方程为

②……………………5分

设
，且
为
的中点，

22.解：解：（1）
，依题意
,
………2分

，

依题意
…………3分

…zxxk…4分

（2）

…………13分