漳州市四地七校2013届高三6月模拟考

数学（理）试题

（考试时间：120分钟 ， 满分 150分）

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1．已知集合
=

A．{0,1} B．{-1,0} C．{-1,0,1} D．{-2,-1,0,1,2}

2．“
”是“
”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某几何体的三视图如下，则该几何体的体积是

A．124 B．144

C．192 D．256

4．设
是三条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）

A．若
∥
，
∥
，则
∥
B．若
∥
，
∥
，则
∥

C．若
∥
，


，则
∥
D．若
∥
，
∥
，则
不一定平行于

5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为以，再由，乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中
则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

A．
B．
C．
D．

6．偶函数
则关于x的方程
上解的个数是

A．l B．2 C．3 D．4

7．下面是计算P=l×2×3×4×…×2012的程序框图，则判断框中的M代表

A．i<2012 B．i>2012

C．i= 2011 D．i>2011

8．函数y=xsin（
-x）在坐标原点附近的图象可能是

9．实数x，y满足不等式组
的取值范围是

A．[一1，1） B．[一1，2） C．（-1，2） D．[一1，1]

10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线
相切，则a的取值范围是

A．
B．
或

C．
D．

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．若
的展开式中第四项为常数项，则n= 。

12．已知直线
与曲线
相切，则
的值为 。

13. 双曲线
的右焦点
，点
是渐近线上的点，且
，则
=

14．已知
中，角
，
,
所对的边分别为
，
，
，外接圆半径是
,且满足条件
,则
的面积的最大值为　 .

15．已知数列
具有性质
：

对任意
，
与
两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：①数列
具有性质
； ②数列
具有性质
；

③若数列
具有性质
，则
；

④若数列
具有性质
，则
.

其中真命题有 ．

三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分13分）

已知各项都不相等的等差数列
的前六项和为60，且
的等比中项.

（I）求数列
的通项公式
；

（II）若数列
的前n项和Tn.

17. （本小题满分13分）

按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．

（I）求该班学生参加活动的人均次数
；

（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率
．

（III）从该班中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
．

18．（本小题满分13分）

如图，
是圆
的直径，点
在圆
上，
，
交
于点
，

平面
，
，
．

（1）证明：
；

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分13分）

如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD
AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(II)过点B的直线
与曲线C交于M、N.两点，与OD所在直线交于E点，
，
证明：
为定值.

20．（本小题满分14分）

已知函数
.

(I)若
在
处取和极值，

①求
、
的值；②存在
，使得不等式
成立，求
的最小值；

(II)当
时，若
在
上是单调函数，求
的取值范围.（参考数据
）

21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

(1) （本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换

曲线
在二阶矩阵
的作用下变换为曲线
，

（I）求实数
的值；（II）求
的逆矩阵
.

（2）（本小题满分7分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（
为参数）。

（I）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与
轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。

（3）（本小题满分7分）选修4-5，不等式选讲

已知函数

（I）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
的解集包含
，求
的取值范围。

漳州四地七校2013届联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：

ABCCB DDAAC

二、填空题：

11、5 12、2 13、2 14、
15、 ①③④

分

--13分

17. 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20． --2分

（I）该班学生参加活动的人均次数为
=
． --4分

（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为

． --8分

（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件
，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件
，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件
．易知

；

. --10分

的分布列：

0

1

2














的数学期望：
． --13分

18. 解：（法一）（1）
平面

平面
，
．…1分

又

，
平面

而
平面

． …………………………3分

是圆
的直径，
．

又

，

．

平面

，
，
平面
．

与
都是等腰直角三角形．
．

，即
（也可由勾股定理证得）．……………………5分

，
平面
．

而
平面
，

． …………………………………………………6分

（2）延长
交
于
，连
，过
作
，连结
．

由（1）知
平面
，
平面
，
．

而
，
平面
．

平面
，
，

为平面
与平面
所成的

二面角的平面角． ……………………8分

在
中，

，
，

．由
，得
．

．又
，

，则
． ………………………11分

是等腰直角三角形，
．

平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
．　………………13分

（法二）（1）同法一，得
． ………………3分

如图，以
为坐标原点，垂直于
、
、
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系．由已知条件得
，

． ………4分

由
，

得
，
． ……………6分

（2）由（1）知
．

设平面
的法向量为
，

由
得
，

令
得
，
， …………………9分

由已知
平面
，所以取面
的法向量为
，………………10分

设平面
与平面
所成的锐二面角为
，

则
， …………………12分

平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
． ………………13分

∴
……………………………………………………………… 13分

【证法2】（Ⅱ）：设
点的坐标分别为
，

易知
点的坐标为
．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

显然直线
的斜率存在，设直线
的斜率为
，则直线
的方程是
…6分

将直线
的方程代入到椭圆
的方程中，消去
并整理得

．

∴
，
……………………………………… 9分

又 ∵
， 则
．∴
，

同理，由
，∴
…………………………………………11分

∴
……