2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲

一、填空题

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））若关于实数
的不等式
无解,则实数
的取值范围是_________

【答案】

 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, m,
n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.

【答案】2

 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式
的解集为_________

【答案】

 ．（2013年高考湖北卷（理））设
,且满足:
,
,则
_______.

【答案】

二、解答题

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课
标Ⅱ卷数学（理））选
修4—5;不等式选
讲

设
均为正数,且
,证明:

(Ⅰ)
; (Ⅱ)
.

【答案】

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））选修4-5:不等式选讲

已知函数
,其中
.

(I)当
时,求不等式
的解集;

(II)已知关于
的不等式
的解集为

,求
的值.

【答案】

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建
数学（理））不等式选讲:设不等式
的解集为
,且
,
.

(1)求
的值;

(2)求函数
的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)因为
,且
,所以
,且

解得
,
又因为
,所以
[来源:学科网]

(Ⅱ)因为

当且仅当
,即
时取得等号,所以
的最小值为

 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.

已知
>0,求证:

【答案】证明:∵

又∵
>0,∴
>0,

,

∴

∴

∴

 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲

已知
函数
=
,
=
.

(Ⅰ)当
=2时,求不等式
<
的解集;

(Ⅱ)设
>-1,且当
∈[
,
)时,
≤
,求
的取值范围.

【答案】当
=-2时,不等式
<
化为
,

设函数
=
,
=
,

其图像如图所示

从图像可知,当且仅当
时,
<0,∴原不等式解集是
.

(Ⅱ)当
∈[
,
)时,
=
,不等式
≤
化为
,

∴
对
∈[
,
)都成立,故


,即
≤
,

∴
的取值范围为(-1,
].

．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy中,将从点M
出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径
都是M到
N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点
处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.

(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位
置,使其到三个居
民区的“L路径”长度值和最小.

【答案】解:
[来源:Z§xx§k.Com]

(Ⅰ)
,

,其中

(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.

点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距
离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;
,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3|
,且当x=3时,
h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.

所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.