2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分

一、选择题

 ．（2013年高考湖北卷（理））已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1，x2(x1

A．
B．

C．
D．

【答案】D

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数
,下列结论中错误的是 （　　）

A．
R,
B．函数
的图像是中心对称图形

C．若
是
的极小值点,则
在区间
上单调递减

D．若
是
的极值点,则

【答案】C

 ．（2013年高考江西卷（理））若
则
的大小关系为 （　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））设函数

（　　）

A．有极大值,无极小值 B．有极小值,无极大值

C．既有极大
值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

【答案】D

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））设函数
的定义域为R,
是
的极大值点,以下结论一定正确的是 （　　）

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

【答案】D

 ．（2013年高考北京卷（理））直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 （　　）

A．
B．2 C．
D．

【答案】
C

 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知
为自然对数的底数,设函数
,则 （　　）

A．当
时,
在
处取得极小值 B．当
时,
在
处取得极大值

C．当
时,
在
处取得极小值 D．当
时,
在
处取得极大值

【答案】C

二、填空题

 ．（2013年高考江西卷（理））设函数
在
内可导,且
,则
______________

【答案】2

 ．（2013年高考湖南卷（理））若
_________.

【答案】3

．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））若曲线y=kx+lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴,则k=______.

【答案】-1

三、解答题

．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数
.

(Ⅰ)设
是
的极值点,求
,并讨论
的单调性;

(Ⅱ)当
时,证明
.

【答案】

．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知函数

(I)求证:

(II)若
恒成立,求实数
取值范围.

【答案】

．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分16分.

设函数
,
,其中
为实数.

(1)若
在
上是单调减函数,且
在
上有最小值,求
的取值范围;

(2)若
在
上是单调增函数,试求
的零点个数,并证明你的结论.

【答案】解:(1)由
即
对
恒成立,∴

而由
知
<1 ∴

由
令
则

当
<
时
<0,当
>
时
>0,

∵
在
上有最小值

∴
>1 ∴
>

综上所述:
的取值范围为

(2)证明:∵
在
上是单调增函数

∴
即
对
恒成立,

∴

而当
时,
>
∴

分三种情况:

(Ⅰ)当
时,
>0 ∴f(x)在
上为单调增函数

∵
∴f(x)存在唯一零点

(Ⅱ)当
<0时,
>0 ∴f(x)在
上为单调增函数

∵
<0且
>0

∴f(x)存在唯一零点

(Ⅲ)当0<
时,
,令
得

∵当0<
<
时,
>0;
>
时,
<0

∴
为最大值点,最大值为

①当
时,
,
,
有唯一零点

②当
>0时,0<
,
有两个
零点

实
际上,对于0<
,由于
<0,
>0

且函数在
上的图像不间断 ∴函数
在
上有存在零点

另外,当
,
>0,故
在
上单调增,∴
在
只有一个零点

下面考虑
在
的情况,先证
<0

为此我们要证明:当
>
时,
>
,设
,则
,再设

∴

当
>1时,
>
-2>0,
在
上是单调增函数

故当
>2时,
>
>0

从而
在
上是单调增函数,进而当
>
时,
>
>0

即当
>
时,
>
,

当0<
<
时,即
>e时,
<0

又
>0 且函数
在
上的图像不间断,

∴函数
在
上有存在零点,又当
>
时,
<0故
在
上是单调减函数∴函数
在
只有一个零点

综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当
时,
的零点个数为1;当0<
<
时,
的零点个数为2

．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））设函数
(其中
).

(Ⅰ) 当
时,求函数
的单调区间;

(Ⅱ) 当
时,求函数
在
上的最大值
.

【答案】

(Ⅰ) 当
时,
,

令
,得
,

当
变化时,

的变化如下表:































极大值



极小值





 右表可知,函数

的递减区间为
,递增区间为
,
.

(Ⅱ)
,令
,得
,
,

令
,则
,所以
在
上递增,

所以
,从而
,所以

所以当
时,
;当
时,
;

所以

令
,则
,令
,则

所以
在
上递减,而

所以存在
使得
,且当
时,
,当
时,
,

所以
在
上单调递增,在
上单调递减.

因为
,
,所以
在
上恒成立,当且仅当