江西省吉安一中2013届高三最后一模

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

在对A，B的独立检验中，统计量

2.706

3.841

6.635



A，B有关百分数

90%

95%

99%



第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 复数
＝

A.
B.
C.
D.

2. 设集合
，若
，则实数p的值为

A. －4 B. 4 C. －6 D. 6

3. 若a，b是两个单位向量，则“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 函数
的定义域是

A.
B.
C.
D.

5. 已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数是

A. 4 B. 3

C. 2 D. 1

6. 设等差数列
的公差为d，若
的方差为1，则d等于

A.
B. 1 C.
D. ±1

7. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为

A.
B.
C.
D.

8. 已知抛物线
的焦点F到双曲线C：
渐近线的距离为
，点P是抛物线
上的一动点，P到双曲线C的上焦点
的距离与到直线
的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为

A.
B.

C.
D.

9. 已知三棱锥
的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：

①BC⊥平面SAC；

②平面SBC⊥平面SAB；

③平面SBC⊥平面SAC；

④三棱锥S－ABC的体积为
。

其中所有正确命题的个数为

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

10. 某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如下图所示。设观察者从点A开始随动点P变化的视角为
＝∠AOP（＞0），练车时间为t，则函数
的图象大致为

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

11. 已知直线
与圆O：
相交于A，B两点，且
，则
的值是__________。

12. 已知x、y满足条件
，则
的取值范围是_________。

13. 在锐角△ABC中，
，则△ABC的面积为_________。

14. 已知函数
满足
（其中
为
在点
处的导数，c为常数）。若函数
的极小值小于0，则c的取值范围是__________。

15. 已知
，若
对任意实数a、b恒成立，则x的取值范围是________。

三、解答题。（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）

16. （本小题满分12分）

已知函数
的图像经过点A（0，1）、
。

（1）当
时，求函数
的单调增区间；

（2）已知
，且
的最大值为
，求
的值。

17. （本小题满分12分）

在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为
的等边三角形，AB＝2，O、D分别是AB、PB的中点。

（1）求证：OD∥平面PAC；

（2）求证：平面PAB⊥平面ABC。

18. （本小题满分12分）

甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y如下表。

零件尺寸x

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05



零件个数y

甲

3

7

8

9

3





乙

7

4

4

4

a



由表中数据得y关于x的线性回归方程为
，其中合格零件尺寸为
。

（1）是否有99％的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？

（2）从甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1个，求恰好取到2个都是不合格零件的概率。

19.（本小题满分12分）

已知函数
，当
时，函数
的图像关于y轴对称，数列
的前n项和为
，且
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，若
，求m的取值范围。

20. （本小题满分13分）

某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动。若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为
、
万元。已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放市场，且A、B两型号的电视机投放金额都不低于1万元。

（1）当
时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）

（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况。

21.（本小题满分14分）已知半椭圆
的离心率为
，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且
的最小值为2。

（1）求半椭圆C的方程；

（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量
与
互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题（10×5＝50分）

1-10 ABCBB CACBD

二、填空题（5×5＝25分）

11.
12.
13.
14.
15.

三、解答题（共75分）

16. 解：（1）由
得：
即

。

当
，即

）时，
为增函数。

∴函数
的单调增区间为
。 6分

（2）
，即有
。

当
，即
时，
，得
；

当
，即
时，
，无解；

当
，即
时，
，矛盾。

故
。 12分

17. 证明：（1）O、D分别为AB、PB的中点，

。

又
平面PAC，
平面PAC，

平面PAC。 5分

（2）连结OC，OP，

，O为AB中点，AB＝2，

，同理
。

又
，

∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC。

∵PO⊥OC，PO⊥AB，
⊥平面ABC。

又
平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC。 12分

18. （1）
， 1分

由
知，
，所以，
， 2分

由于合格零件尺寸为
，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：

合格零件数

不合格零件数

合计



甲

24

6

30



乙

12

18

30



合计

36

24

60



3分

所以，
。 5分

因
，故有99%的把握认为加工的不合格零件与甲、乙有关联。 6分

（2）尺寸大于1.03cm的零件中，甲有合格零件9个、不合格零件3个，乙有合格零件4个、不合格零件11个。 7分

设甲加工的合格零件为
，甲加工的不合格零件为
，乙加工的合格零件为
，乙加工的不合格零件为
。

因此，“从甲、乙中各取1个”的所有基本事件是：

…，
，共12×15＝180种情况。 9分

其中，“取到的2个都是不合格零件”的基本事件是：

…，
，共3×11＝33种情况。 11分

故所求概率为
。 12分

19. 解：（1）∵函数
的图像关于y轴对称，

，且
，解得
，

，即有
。

也满足，
。 5分

（2）由（1）得
，

， ①

， ②

①－②得

，

。 9分

设
，则由
＋
，得
随n的增大而减小，
，

即
。

又
恒成立，
。 12分

20. 解：设B型号电视机的价值为x万元
，则A型号电视机的价值为
万元，农民得到的补贴为y万元。

由题意得，
。 2分

（1）当
时，
，

，由
，得
。

当
时，
；当
时，
。

所以当
时，y取最大值，
。

即厂家分别投放A、B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元。 4分

（2）
，得
。

①当
，即
时，
，
上是减函数，

农民得到的补贴随B型电视机投放金额x的增加而逐渐减少。 6分

②当
，即
时，

当
时，
，当
时，
。

当
时，农民得到的补贴随B型电视机投放金额x的增加而逐渐增加；

当
时，农民得到的补贴随B型电视机投放金额x的增加而逐渐减少。

10分

③当
，即
时，

上是增函数，农民得到的补贴随B型电视机投放金额x的增加而逐渐增加。

13分

21. 解：（1）设O为坐标原点，则PO为△PAB的中线，
2分

，因此，当P在短轴上顶点时，
取得最小值2

即
4分

依题意得：
即

∴半椭圆C的方程为：
6分

（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为
，

则此两直线方程分别为：
7分

又
（O为原点），因此，只要满足
即可

9分

故
，化简为：
10分

由半椭圆方程得：
，则
＝－1

即
12分

令
且
，故

化简为：
解得
或
（舍去）

解之得：
或

因此，直线NP、NQ能使得
与
互相垂直。 14分