银川唐徕回民中学

2012～2013学年度第二学期高三年级第三次模拟考试

数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设全集
，集合
=｛
｝，
=

，则“

”是“

”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要

2. 下面是关于复数
的四个命题

P1：复数
的共轭复数为
P2：复数
的实部为1

P3：复数
对应的向量与复数
对应的向量垂直 P4：

其中真命题的个数为

A．4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 已知回归方程
=0.85
-85.7，则该方程在样本（165，57）处的残差为

A．54.55 B. 3.45 C. 2.45 D. 111.55

4. 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能是

①长、宽不相等的长方形 ②正方形 ③圆 ④椭圆

A．①② B. ①④

C. ②③ D.③④

5. 若实数
、
满足
，则3
·9
的最大值是

A．3 B. 9 C. 18 D. 27

6. 双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点相同，一条渐近线与

平行，则该双曲线的标准方程为：

A．
B.
C.
D.

7. 如右图所示的算法流程图中输出的数为-55，则判断框中的条件为

A．
<11? B.

11?

C.
<10? D.

10?

8. 在边长为2的正方形中，有一个封闭曲线围成的阴影区域D，现用随机模拟的方法进行了100次试验，统计出落入区域D内的随机点共有60个，则估计区域D的面积为

A．
B.
C.
D. 2

9. 已知
的图像关于
轴对称，则
的值为

A．
B. 2 C.
D. 1

10. 一个各条棱都相等的四面体，其外接球半径为R，则此四面体的棱长为

A．
B.
C.
D.

11. 椭圆
的两个焦点是F1，F2，若P是椭圆上一点，且｜PF1｜=2｜PF2｜，则此椭圆的离心率的取值范围是

A．[
,1
B. (0，
) C．（0，

D. (
，1)

12. 已知
=

，且
，现给出如下结论

①
②
③
④
⑤
⑥

其中正确的结论是

A. ①③⑤ B. ①④⑥ C. ②③⑤ D. ②④⑥

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知向量
，
，满足|
|=
，｜
｜
，且（
-
）

，则向量
与
的夹角为_______.

14. 已知函数
，
，则下列结论中，正确的序号是_____________.

①两函数的图像均关于点（
，0）成中心对称；②两函数的图像均关于直线
成轴对称；

③两函数在区间（
，
）上都是单调增函数； ④两函数的最小正周期相同。

15. 某单位有年轻职工21人，中年职工14人，老年职工7人。现采用分层抽样方法从这些职工中选6人进行健康调查。若从选取的6人中随机选2人做进一步的调查，则选取的2人均为年轻人的概率是 。

16. 在△ABC中，∠A=600，BC=
，则AC+AB的最大值为___________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本大题满分12分）

已知正项数列满足
,

（1）求数列
的通项公式； （2）设
，求数列
的前
项和
.

18．（本大题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面是菱形，∠ABC=600，

PA⊥底面ABCD，E、F分别是BC、PC的中点，PA=AB=2.

（1）求证：AE⊥PD；

（2）求三棱锥A—EFC的体积.

19．（本大题满分12分）

唐徕回中在校际篮球联赛中高三年级代表队中两名队员8场投篮及命中情况记录如下：

场次

一

二

三

四

五

六

七

八



甲投球次数

30

21

19

22

16

14

17

20



甲投中次数

18

12

8

14

12

10

9

13



乙投球次数

26

18

23

20

24

20

16

19



乙投中次数

14

12

13

13

16

12

9

15



 （1）试用茎叶图表示甲、乙两队员投中的次数，并计算甲、乙两队员投中次数的平均数和方差。

（参考公式：
）

（2）设乙队员投球次数为
，投中为
，根据上表，利用统计中的最小二乘法原理建立的回归方程为
，其中
=0.44，若乙队员某场比赛中投球28次，估计投中了多少次.

20．（本大题满分12分）

已知椭圆C：

的离心率为
，且过点Q
。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设P点在直线
上，且满足

(O为坐标原点)，求实数
的最小值。

21．（本大题满分12分）

已知函数
，

（1）若函数
，求函数
的单调区间；

（2）设直线
为函数
的图像上点A
，

处的切线，证明：在区间（1，+
）上存在唯一
，直线
与曲线
相切.

请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑。（10分）

22. 如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直于BA的

延长线于点F，求证：

（1）BE·DE+AC·CE=CE2；（2）E、F、C、B四点共圆.

23. 在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线C：
交于A、B两点，

（1）求｜AB｜的长；

（2）以直角坐标系
中
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（
，
），求P到线段AB中点M的距离.

24. 已知函数
,

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）当函数
的值域为R时，求
的取值范围.

2013三模数学（文科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．
14．③ 15．
16．

三、解答题：

17.（1）
（2）

18. （1）略 （2）

19.（1）茎叶图:

（2）由已知及（1）得：

，则

∴
∴

当
时，
∴估计投中16次。

20. 解：（1）因为
，所以
，从而
，

所以椭圆的方程变为
，又因为椭圆经过点Q

所以
，解得
所求椭圆方程为

（2）由题意，过点M的直线与椭圆交于两点，其斜率显然存在，故设其方程为

， 设
，
，

由
得
，即

由
，解得

，

因为
，所以
，
，

由因为
，所以
即

当且仅当
时

或者对函数
求导也可以。

21．（本大题满分12分）

解：（1）
，故

显然当
且
时都有
，故函数
在
和
均单调递增。

（2）因为
，所以直线
的方程为

设直线
与
的图像切于点
，因为
，

所以
，从而，

所以直线
的方程又为

故
，从而有

由（1）知，
在区间
单调递增，

又因为
，

故
在区间
上存在唯一的零点
，

此时，直线
与曲线
相切.

22. （本大题满分10分）

证明：（1）连接
，因为
,

所以
∽
,故
,

所以，

连接
，因为
是圆
的直径，所以
,从而点
在以
为直径的圆上，

又因为
，所以点
也在以
为直径的圆上，

故
四点共圆.

23. （本大题满分10分）

解答（略） （1）
(2)

24、（本大题满分10分）

解答（略）（1）

(2)