江西省吉安一中2013届高三高考模拟（最后一模）

数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 设集合
，若集合
只有一个子集，则k的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 函数
（共中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需将
的图象（ ）

A. 向右平移
个单位长度 B. 向左平移
个单位长度

C. 向右平移
个单位长度 D. 向左平移
个单位长度

5. 已知p：存在
，使
；q：对任意
，恒有
。若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 如图，已知某几何体的三视图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆
的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如下图所示。设观察者从点A开始随动点P变化的视角为
＝∠AOF（
＞0），练车时间为t，则函数
的图象大致为

9. 某铁路货运站对6列运煤列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）

A. 162种 B. 216种 C. 108种 D. 432种

10. 给出定义：若
（其中m为整数），则m叫做实数x的“亲密的整数”，记作
，在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：①函数
在
上是增函数；②函数
的图象关于直线
对称；③函数
是周期函数，最小正周期为1；④当
时，函数
有两个零点。其中正确命题的序号是（ ）

A. ②③④ B. ②③ C. ①② D. ②④

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. 已知向量
，
的夹角为60°，且
，则向量
与
的夹角为___________。

12. 设
的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若
，则展开式中x的系数为__________。

13. 已知数列
是以3为公差的等差数列，
是其前n项和，若
是数列
中的唯一最小项，则数列
的首项
的取值范围是___________。

14. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9



销量y（件）

90

84

83

80

75

68



由表中数据，求得线性回归方程为
。若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为_____________。

三、选做题（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分）

15. （1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设圆
（
为参数）上的点到直线
的距离为d，则d的最大值是__________。

（2）（不等式选做题）不等式
的解集是_________。

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

已知函数
。

（1）求函数
在
上的单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值。

17. （本小题满分12分）

已知数列
满足
。

（1）求数列
的通项公式
；

（2）令
，记数列
的前n项和为
，若
恒为一个与n无关的常数
，试求常数a和
。

18. （本小题满分12分）

正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为
。从正四棱柱的12条棱中任取两条，设
为随机变量，当两条棱相交时，记
；当两条棱平行时，
的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，记
。

（1）求概率
；

（2）求
的分布列，并求其数学期望
。

19. （本小题满分12分）

如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：

（1）在线段AB上是否存在一点K，使BC∥面DFK？若存在，请证明你的结论：若不存在，请说明理由；

（2）若面ADE⊥面ABCE，求二面角E－AD－B的余弦值。

20. （本小题满分13分）

在直角坐标平面中，三角形ABC的两个顶点的坐标分别为
，
，两动点M，N满足
＝
，向量
与
共线。

（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；

（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求
·
的取值范围；

（3）若G（－a，0）、H（2a，0），Q为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数
，使得∠QHG＝λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分）

已知函数
，
。

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
上是减函数，求实数a的最小值；

（3）若存在
，使
，求实数a的取值范围。

【试题答案】

1-5 CBCCA 6-10 ADDBA

11. 30° 12. 150 13. （－30，－27） 14.

三、选做题（本题共5分）

15. ①2 ②

16. 解：（1）

3分

由
得：

所以，
在
上的单调递增区间为
6分

（2）
，则

8分

∵向量
与向量
共线，
，

由正弦定理得，
10分

由余弦定理得，
，即

12分

17. 解：（1）由题
①

②

由①－②得：
，即
3分

当
时，

所以，数列
是首项为1，公比为2的等差数列，故
5分

（2）

2，

是以
为首项，以
为公差的等差数列， 8分

10分

恒为一个与n无关的常数

解之得：
12分

18. 解：（Ⅰ）若两条棱相交，则交点必为正四棱柱8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，共有
＝24对相对棱。

所以
，即任取两条棱相交的概率为
。 5分

（Ⅱ）若两条棱平行时，则它们的距离有4种，分别是：距离是
的有4对，距离是2的有4对，距离是
的有2对，距离为1的共有8对，两条棱为异面的共有24对，于是
=
＝
。

随机变量η的分布列是：

0

1





2

3



P















10分

所以数学期望

。

12分

19. 解：（1）线段AB上存在一点K，且当
时，BC∥面DFK 1分

证明如下：设H为AB的中点，连结EH，则BC∥EH，又因为
，F为AE的中点

所以KF∥EH，所以KF∥BC， 4分

5分

（2）∵H为AB的中点，
为AE的中点，
。

面ADE⊥面ABCE，
面ABCE

由此可以FA，FH，FD分别为
轴，建立坐标系如图 7分

因为DF⊥面ABCE，所以DF⊥FH，又∵FH⊥AE，
，

⊥面ADE，则
为面ADE的一个法向量。

因为
，所以
，
9分

又可得：
，所以

设面ADB的法向量为

由
，即
，令
，则
11分

所以
，故二面角E－AD－B的余弦值为
12分

20. 提示：（Ⅰ）设
，由
，知，
是△ABC的重心，
。 1分

又
且向量
与
共线，
在边AB的中垂线上，
。2分

而
，

，

即
。 3分

（Ⅱ）设
，过点
的直线方程为
，代入
得
，

，即
。

。

。 6分

。 8分

（Ⅲ）设
，则
，即
。

当
轴时，
，即∠QHG＝2∠QGH，故猜想
。 9分

当QH不垂直x轴时，
，

。

又
与
同在
内，
。

故存在
，使
恒成立。 13分

21. （1）解：由已知函数
的定义域均为
，且
。

1分

函数
，

当
且
时，
；当
时，
。

所以函数
的单调减区间是（0，1），
，增区间是
。 3分

（2）因
在
上为减函数，故
在
上恒成立。

所以当
时，
。

又
，

故当
，即
时，
。

所以
，于是
，故a的最小值为
。 6分

（3）命题“若
，使
成立”等价于

“当
时，有
”。

由（2），当
时，
。

问题等价于：“当
时，有
”。 8分

10 当
时，由（Ⅱ），
在
上为减函数，

则
，故
。 10分

20 当
时，由于
在
上为增函数，

故
的值域为
，即

。

（i）若
，即
在
恒成立，故
在
上为增函数，

于是，
，不合题意。 11分

（ii）若
，即
，由
的单调性和值域知，

存在唯一
，使
，且满足： 12分

当
时，