北大附中河南分校2013届高三年级第四次月考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
是实数，且
，则实数
（ ）

A．
B．1 C．2 D．

【答案】B

【解析】因为
，所以不妨设
，则
，所以有
，所以
，选B.

2．集合
，
，则
等于 （ ）

A、
B、
C、
D、

【答案】D

【解析】
,
,所以
，选D.

3.已知向量
满足
,则
与
的夹角为 ( )

A、
B、
C、
D、

【答案】C

【解析】因为
，所以
，选C.

4.设等比数列
的公比q=2，前n项和为
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】
,
,所以
，选A.

5．定义行列式运算
=
．将函数
的图象向左平移
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）

A．
　B．
C．
D．

【答案】B

【解析】根据行列式的定义可知
，向左平移
个单位得到
，所以
，所以
是函数的一个对称中心，选B.

6．设等差数列
的前
项和为
且满足
则
中最大的项为

A．
B．
Ｃ．
Ｄ．

【答案】D

【解析】由
，得
.由
，得
，所以
，且
.所以数列
为递减的数列.所以
为正，
为负，且
，
，则
，
，
，又
，所以
，所以最大的项为
，选D.

7．等腰三角形
中，
边中线上任意一点，则
的值为（ ）

A、
B、
C、5 D、

【答案】D

【解析】在等腰三角形
中，
，所以
，所以设
边上的中线为
，所以
.
.

,又
，即
，所以
，所以
，所以
，选D.

8．在数列
中，已知
等于
的个位数，则
的值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】C

【解析】
，所以
的个位数是4，
，所以所以
的个位数是8，
，所以
的个位数是2，
，所以
的个位数是6，
的个位数是2，
的个位数是2，
的个位数是4，
的个位数是8，
的个位数是2，所以从第三项起，
的个位数成周期排列，周期数为6，
，所以
的个位数和
的个位数一样为4，选C.

9．在同一坐标系中画出函数
，
，
的图象，可能正确的是（ ）

【答案】D

【解析】A中，指数和对数函数的底数
，直线的截距应大于1，所以直线不正确。B中，指数和对数函数的底数
，直线的截距应小于1，所以直线不正确。C中指数和对数函数的底数不一致，错误。D中，指数和对数函数的底数
，直线的截距大于1，正确。选D.

10．给出下列四个命题： ①若集合
、
满足
，则
；

②给定命题
，若“
”为真，则“
”为真；③设
，若
，则
； ④若直线
与直线
垂直，则
．

其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】①正确。②若
，则
至少有一个为真，当有一个为假时，
为假，所以②错误。当
时，有
，所以③错误。④直线
的斜率为
，直线
的斜率为1，若两直线垂直，所以有
，解得
，所以正确。所以正确的命题有2个，选B.

11．已知函数
的图象与直线
交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为
，则
＋
＋…＋
的值为（　 ）

A．－1 B． 1－log20132012 C．-log20132012 　　D．1

【答案】A

【解析】函数的导数为
，所以在
处的切线斜率为
，所以切线斜率为
，令
得
，所以
，所以
，选A.

12.偶函数
满足
，且在
时，
则关于x的方程
在
上解的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D． 4

【答案】D

【解析】由
得
，所以函数的周期为4，又
，所以函数关于
对称，作出函数
和
的图象，由图象可知，两个图象的交点有4，即方程在
上的解的个数为4个，选D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 向量
的夹角为120°，
= ．

【答案】7

【解析】
，所以
，所以
。

14．已知函数
，则
．

【答案】

【解析】
，所以
。

15．已知正实数
满足
，若对任意满足条件的
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为 ．

【答案】

【解析】要使
恒成立，则有
，即
恒成立。由
得
，即
解得
或
（舍去）设
，则
，函数
，在
时，单调递增，所以
的最小值为
，所以
，即实数
的取值范围是
。

16．设
，其中
． 若
对一切
恒成立，则以下结论正确的是___________（写出所有正确结论的编号）．

①
； ②
； ③
既不是奇函数也不是偶函数；

④
的单调递增区间是
；

⑤ 经过点
的所有直线均与函数
的图象相交．

【答案】① ③ ⑤

【解析】
为参数。因为
，所以
是三角函数的对称轴，且周期为
，所以
，所

，所以
.①
,所以正确。②
，
，因为
，所以
，所以
，所以②错误。③函数既不是奇函数也不是偶函数，所以③正确。因为
，所以单调性需要分类讨论，所以④不正确。假设使经过点（a，b）的直线与函数
的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且
，即
，所以矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数
的图象不相交故⑤正确。所以正确的是① ③ ⑤。

三、解答题（本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知函数
，
（其中
，
，
），

其部分图象如图所示．

（I）求
的解析式；

（II）求函数
在区间
上的最大值及相应的
值．

18．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和是
，且

．

（1）求数列
的通项公式；（2）设

，求适合方程
的正整数
的值．

19．（本小题满分12分）

已知向量
．

（1）当
时，求
的值；

（2）设函数
，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为
，若
,求
（
）的取值范围．

20．（本小题满分12分）

设正项等比数列
的首项
前n项和为
，且

（1）求
的通项；

（2）求
的前n项
．

21．（本小题满分12分）

已知函数

．

（1）讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，求实数
的取值范围；

22．（本小题满分12分）

设函数

(I)若
与
具有完全相同的单调区间，求
的值；

(Ⅱ)若当
时恒有
求
的取值范围.

文科数学试题参考答案

一、选择题：1—5：BDCAB; 6—10：DDCDB 11—12：AD

二、填空题：13．7 14．-1 15．
16．① ③ ⑤

三、解答题：17．（I）由图可知，
，
，所以

∴

又
，且
，所以

所以
．

（II）由（I）
，

所以
=

因为
，所以
，
．

故
，当
时，
取得最大值
．

18．（1） 当
时，
，由
，得
……………………1分

当
时，∵
，
， …………………2分

∴
，即
　

∴
…………………………………………3分

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列．…………………………………4分

故

　…………………………………………6分

（2）
，
……………8分

…………………………………………9分

…11分

解方程
，得
…………………………………………12分

19．解：（1）
…………2分

…………6分

（2）
+

由正弦定理得
或

因为
，所以
…………9分

,

,

所以
…………12分

20．解：（1）由
得
…２分

即

可得
　　…………４分

因为
，所以
解得
，　　 …………５分

因而
　　 ……………………６分

（2）因为
是首项
、公比
的等比数列，故

……………………8分　　

则数列
的前n项和

前两式相减，得

即
……12分

21．解：（1）
，

当
时，
在
上恒成立，

函数
在
单调递减，∴
在
上没有极值点；

当
时，
得
，
得
，

∴
在
上递减，在
上递增，即
在
处有极小值．

∴当
时
在
上没有极值点，

当
时，
在
上有一个极值点． …………6分

（注：分类讨论少一个扣一分。）

（2）∵函数
在
处取得极值，∴
， …………8分

∴
，

令
，可得
在
上递减，在
上递增，

∴
，即
． …………12分

22．解：（I）
，………2分

当
时，

在
内单调递减；

当
时，

在
内单调递增. ………4分

又
由
得
.

此时
，

显然
在
内单调递减，在
内单调递增，故
.………6分

(II)由
，得
.………7分

令
，则
.………8分

，
.

若
，则当
时，
，
为增函数，而
，

从而当
，即
；………10分

若
，则当
时，
，
为减函数，而
，

从而当
时
，即
，则
不成立.————12分