昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试 卷（文科）

（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）复数
的虚部是

A.
B.
C.
D.

【答案】B

，所以虚部为1，选B.

（2） “
”是“直线
垂直”的

A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

若直线
垂直，则有
，即
，所以
。所以“
”是“直线
垂直”的充分不必要条件，选A.

（3）在数列
中 ，
则
的值为

A．7 B．8 C．9 D．16

【答案】B

因为点
生意
，即数列
是公比为2的等比数列，所以
，选B.

（4）如图，在

A.
B.

C.
D.

【答案】C

因为
，所以
。因为
，选C.

（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为

A.
B．
C.
D.

【答案】A

根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥

其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且底面梯形的面积为
，所以
.选A.

（6）函数
的零点个数为

A.
B.
C.
D.

【答案】C

由
得
。令
，在同一坐标系下分别作出函数
的图象，由图象可知两个函数的交点个数为2个，所以函数
的零点个数为2个，选C.

（7）设不等式组
表示的平面区域为
．在区域
内随机取一个点，则此点到直线
的距离大于2的概率是

A.
B.
C.
D.

【答案】D

不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线
的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为
,所以

,根据几何概型可知所求概率为
,选D.

（8）设定义域为
的函数
满足以下条件；①对任意
；

②对任意


.则以下不等式一定成立的是

①
②

③
④

A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

【答案】B

由①知
，所以函数为奇函数。由②知函数在
上单调递增。因为
，所以
，即②成立。排除AC.因为
，所以
，又
，所以
，因为函数在在
上单调递增，所以在
上也单调递增，所以有
成立，即④也成立，所以选B.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）在
中，若
,
，
，则
=

【答案】

由余弦定理可得
，即
，整理得
，解得
。

（10）已知
是等差数列
的前
项和，其中
则

【答案】6；9

由
得
。所以
。
。

（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．

【答案】3

第一次循环有
；第二次循环有
；第三次循环有
；此时满足条件，输出
。

（12）以双曲线
的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _______.

【答案】

双曲线的渐近线为
，不妨取
，即
。双曲线的右焦点为
，圆心到直线
的距离为
，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为
。

(13) 已知函数
则
________;

若
，则实数
的取值范围是_______________.

【答案】-5;

，所以
。由图象可知函数
在定义域上单调递减，所以由
得，
，即
，解得
，即实数
的取值范围是
。

（14）过椭圆
上一点
作直线
交椭圆于
两点，设
的斜率分别为
，若点
关于原点对称，且
则此椭圆的离心率为___________.

【答案】

设
,则
，所以
，又
，两式相减得
，即
，所以
，即
，整理得
，即
，所以离心率
。

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（15）（本小题满分13分）已知函数

.

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最值.

(16) （本小题满分14分）

在四棱锥
中，底面
是正方形，

为
的中点.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）若
在线段
上是否存在点
，使
？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．

(17) （本小题满分13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组 乙组

6 X 8 7

4 1 9 0 0 3

（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；

（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差
其中
）

（18）（本小题满分13分）已知函数
.

（Ⅰ）若
求函数
上的最大值；

（Ⅱ）若对任意
，有
恒成立，求
的取值范围.

19. （本小题满分13分）

已知椭圆

，其短轴的一个端点到右焦点的距离为
，且点

在椭圆
上. 直线
的斜率为
,且与椭圆
交于
、
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
面积的最大值.

20. （本小题满分14分）

已知每项均是正整数的数列
，其中等于
的项有
个
，设

，

（Ⅰ）设数列

，

①求
；②求
的值；

（Ⅱ）若
中最大的项为50， 比较
的大小.

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试卷 参考答案（文科）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

题 号

 （1）

 （2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



 答案

 B

 A

 B

 C

A

 C

 D

 B



二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

（9）
（10）6；9

（11） 3 （12）

（13） -5;
（14）

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（15）(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为

.………………………………5分

所以
的最小正周期
．…………………7分

（II）由
…………..9分

当
，…………….11分

当
.……………….13分

（16）(本小题满分14分)

解：（I）连接
.

由
是正方形可知,点
为
中点.

又
为
的中点，

所以
∥
………………….2分

又

所以
∥平面
………….4分

(II) 证明：由

所以

由
是正方形可知,

又

所以
………………………………..8分

又

所以
…………………………