北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题（文史类） 2013.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

【答案】D

,所以

，选D.

2．已知
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数
等于

A．
B．
C．
D．

【答案】A

，要使复数为纯虚数，所以有
，解得
，选A.

3.“
”是“直线
与圆
相交”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

要使直线
与圆
相交，则有圆心到直线的距离
。即
，所以
，所以“
”是“直线
与圆
相交”的充分不必要条件，选A.

4. 执行如图所示的程序框图．若输入
，则输出
的值是

A．
B．
C．
D．

【答案】C

第一次循环
；第二次循环
；第三次循环
；第四次循环
；第五次循环
，此时满足条件输出
，选C.

5. 已知
，
，且
，则
的最大值是

A.
B.
C.
D.

【答案】B

因为
，所以
，当且仅当
，即
取等号，所以选B.

6. 已知三棱锥的底面是边长为
的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．

【答案】C

由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为
，侧视图的高为
，高为
，所以侧视图的面积为
。选C.

7. 已知函数
（
），若函数
在
上有两个零点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

【答案】D

当
时，由
得
，此时
。当
时，由
得
。即
，因为
，所以
，即
，选D.

8. 在棱长为
的正方体
中，
，
分别为线段
，
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是

A．
B．
C．
D．

【答案】A

过
做
底面于O,连结
, 则
，即
为三棱锥
的高，设
，则由题意知
,所以有
，即
。三角形
，所以四面体
的体积为
，当且仅当
，即
时，取等号，所以四面体
的体积的最大值为
，选A.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9. 已知数列
是等比数列，数列
是等差数列，则
的值为 .

【答案】

因为
是等比数列，所以
，所以
。
是等差数列
。所以
。

10.在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且
，则
= ．

【答案】

根据余弦定理可得
，所以
。

11.若关于
，
的不等式组
（
为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则
的值为 .

【答案】

先做出不等式
对应的区域如图
。因为直线
过定点
，且不等式
表示的区域在直线
的下方，所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域，三角形的高为1，所以
，所以
，当
时，
,所以
，解得
。

12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为
，点P在双曲线上，且线段
的中点坐标为（
，
），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .

【答案】
，

由双曲线的焦点可知
，线段PF1的中点坐标为
，所以设右焦点为
，则有
，且
，点P在双曲线右支上。所以
，所以
，所以
，所以双曲线的方程为
，离心率
、.

13.在直角三角形
中，
，
，点
是斜边
上的一个三等分点，则
．

【答案】

由题意知三角形为等腰直角三角形。因为
是斜边
上的一个三等分点，所以
，所以
，所以
，
，所以
。

14. 将连续整数
填入如图所示的
行
列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .

【答案】
；

因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最小值.

16. （本小题满分14分）

在长方体
中，
，
是棱
上的一点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）若
是棱
的中点，在棱
上是否存在点
，

使得
∥平面
？若存在，求出线段
的长；

若不存在，请说明理由．

17. （本小题满分13分）

某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

组别

分组

频数

频率



第1组

[50，60）

8

0.16



第2组

[60，70）

a

▓



第3组

[70，80）

20

0.40



第4组

[80，90）

▓

0.08



第5组

[90，100]

2

b





合计

▓

▓





（Ⅰ）写出
的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.

（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；

（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.

18. （本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

19. （本小题满分14分）

已知直线
与椭圆
相交于
两点，与
轴相交于点
，且当
时，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设点
的坐标为
，直线
，
与直线
分别交于
，
两点.

试判断以
为直径的圆是否经过点
?并请说明理由.

20. （本小题满分13分）

将正整数
（
）任意排成
行
列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数
（
）的比值
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.

（Ⅰ）当
时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；

（Ⅱ）若
表示某个
行
列数表中第
行第
列的数（
，
），且满足
请分别写出
时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；

（Ⅲ）对于由正整数
排成的
行
列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合
，记其“特征值”为
，求证：

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题答案（文史类） 2013.1

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

D

A

A

C

B

C

D

A



二、填空题：

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案








；




；



（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

…………………………………………2分

……………………………………………4分

所以函数
的最小正周期为
. …………………………………………6分

由