安庆一中2013届高三第三次模拟考试

数学（文科）试卷

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数
＝( )

（A）1 （B）－1 （C）i （D）－i

2. 设全集Ｕ＝Ｒ，
，
，则
是(　　　）

A．
B．
C．
D．

3. 执行如图所示程序框图，输出结果S=( )

A.1 B.2

C.6 D.10

4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )

5. 已知向量
，
，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

6. 如果数列
，
，
，…，
，…是首项为1，公比为
的等比数列，则
等于( )

A．32 B．64 C．-32 D．-64

7.已知F1，F2为双曲线
的左、右焦点，点P在C上，
=(　　　　）

A．
B．
C．
D．

8．将函数f（x）=l+cos 2x－2sin2（x－
）的图象向左平移m（m>0）个单位后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为（ )

A．
B．
C．
D．

9. 定义在R上的函数f（x）=
，则满足f（2x-1）＜f（3）的x的取值范围是（　　）

A．（-2，2） B．（-
，2） C．（2，
） D．（-1，2）

10.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2
=
+
且
=
，则向量
在
方向上的投影为( )

A．
B.
C. -
D. -

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置.

11.设p:|4x-3|≤1,q:
-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是____________.

12.在
中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
，则
的值是____________

13. 定义在
上
满足:
，当
时，
=
，

则
= 　　____________．

14.第1行：21+20

第2行：22+20，22+21

第3行：23+20，23+21，23+22

第4行：24+20，24+21，24+22，24+23

… 由上述规律，则第n行的所有数之和为 .

15. 已知两点
，若直线上存在点
，使
，则称该直线为“和谐直线”.现给出下列直线：①
；②
；③
；④
，其中为“和谐直线”的是 （请写出符合题意的所有编号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。

16.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=
,其中
(cosx，-2cosx)

(1)求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间和最小值；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）= -1，求
的值．

17.（本小题满分12分）

通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：

男

女

合计



看营养说明

40

40

80



不看营养说明

20

10

30



合计

60

50

110





（1）从这60名男生中按是否看营养说明采取分层抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，问样本中看与不看营养说明的男生各有多少名？

（2）从（1）中的6名男生样本中随机选取2名作深度采访，求选到看与不看营养说明的男生各1名的概率；

（3）根据以上列联表，是否有85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？

参考公式：
，其中
.

参考值表：

P(
)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





18.（本小题满分12分）

如图,
是边长为
的正方形，
平面
，
，
.

　（1）求证：
平面
；

　（2）设点
是线段
上一个动点，试确定点
的位置，使得
平面
，并证明你的结论.

(本小题满分13分)

设函数f(x)=x2 过点C(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1,以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2,,再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点 A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*

(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式an;

(2)设直线ln与函数g(x)=
的图象相交于点Bn，记
（其中O为坐标原点），求数列{bn}的前n项和Sn.

（本小题满分13分）

如图，椭圆
的左顶点为
，
是椭圆
上异于点
的任意一点，点
与点
关于点
对称．

(1)若点
的坐标为
，求
的值；

(2)若椭圆
上存在点
，使得
，

求
的取值范围．

２１.（本小题满分13分）

　 已知函数

　(1)

　(2)

　(3)

参考答案

选择题：

1. C 2.B 3.A 4.D 5.Ｃ 6.Ａ 7.Ｂ 8.Ｂ 9.Ｄ 10.Ｄ

二．填空题：

11.
12.
13.
14.
15.①④

三．解答题：

16

………3分

由单调递增知：
……..…4分

17. 解: 解:（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的男生有
名……… 2分

不看营养说明的男生有
名.……………………………………… 4分

（2）记样本中看营养说明的4名男生为
不看营养说明的2名男生为
，从这6名男生中随机选取2名，共有15个等可能的基本事件：

,
，
，
，
,

，
，
，
，

，
，
，

，
，

；…………………………………………………………………… 6分

其中符合要求的是
，
，
，
，
，
，
，
.

故所求的概率为
.…………………………………………………8分

(3)假设
：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则
应该很小.

由题设条件得：
…10分

因为由
可知，所以有
的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关. ………………………………………………………………………… 12分

18. (1)证明：因为
平面
，

所以
. ……………………2分

因为
是正方形，

所以
，因为
………………4分

从而
平面
. ……………………6分

　（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM＝BD时，AM∥平面BEF． …7分

取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，

因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，

故四边形AMNF是平行四边形． ……………………………10分

所以AM∥FN，

因为AM
平面BEF，FN
平面BEF， ………………………………11分

所以AM∥平面BEF． ………………………12分

19.

20. （Ⅰ）解：依题意，
是线段
的中点，

因为
，
，

所以 点
的坐标为
． ………………2分

由点
在椭圆
上，

所以
， ………………4分

解得
． ………………6分

（Ⅱ）解：设
，则
，且
．① ………………7分

因为
是线段
的中点，

所以
． ………………8分

因为
，

所以
．② ………………9分

由 ①，② 消去
，整理得
． ………………10分

所以
， ………………12分

当且仅当
时，上式等号成立．

所以
的取值范围是
． ………………13分

2１. 解：（1）
…………………………1分

由于
，故当
时，
，所以
，…………2分

故函数
在
上单调递增 . …………………………………………3分

（2）
，
，

， ……………………………………4分

当
时，
，
，故
是
上的增函数；

同理，
是
上的减函数. …………………………………5分

，当
，
，

故当
时，函数
的零点在
内，
满足条件；

，当
，
，

故当
时，函数
的零点在
内，
满足条件.

综上所述
或
. ………………………………………8分

（3）
，

因为存在
，使得
，所以当
时，
…………………………9分

，

①当
时，由
，可知
，
，∴
；

②当
时，由
，可知
，
，∴
；

③当
时，
.

∴
在
上递减，在
上递增，…………………………………11分

∴当
时，
，

而
，

设
，因为
（当
时取等号），

∴
在
上单调递增，而
，

∴当
时，
，

∴当
时，
，

∴
，

∴
，

∴
，即
，

设
，则

.

∴函数
在
上为增函数，

∴
.

即
的取值范围是
……………………………………13分