安庆一中2013届高三年级第三次模拟考试

数学（理科）试卷

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，则复数
＝( )

A.1 B.－1 C.i D.－i

2.设全集
，
，
，则

（ ）

A．
B．
C．
D．

3.执行如图所示程序框图，输出结果 S
（ ）

A.1 B.2 C.6 D.10

第3题图 第4题图

4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．1 B．
C．
D．

5.设随机变量
，且
，则实数
的值为( )

A．4 B．6 C．8 D．10

6. 已知数字发生器每次等可能地输出数字
或
中的一个数字,则连续输出的
个数字之和能被3整除的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 定义在
上的函数

，则满足
的
的取值范围是（ ）

A．（-2，2） B．（-
，2） C．（2，
） D．（-1，2）

8.如果数列
，
，
，…，
，…是首项为1，公比为
的等比数列，则

（ ）

A．32 B．64 C．-32 D．-64

9.若
、
为双曲线
的左、右焦点，
为坐标原点，点
在双曲线的左支上，点
在双曲线的直线
上，且满足：

，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．3

10. 函数
，当
时，
恒成立，则
的最大值与最小值之和为（ ）

A．18 B．16 C．14 D．

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置.

11.设p:|4x-3|≤1,q:
-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分而不必要条件,则实数a 的取值范围是____________.

12.已知曲线
：
，其中
为参数，则曲线
被直线
所截得的弦长为 ．

13.已知
则
展开式中的常数项为__________.

14.已知
是锐角
的外接圆圆心，
，若
，且
，则
_______________.

15.已知两点
，若直线上存在点
，使
，则称该直线为“和谐直线”.现给出下列直线：①
；②
；③
；④
，其中为“和谐直线”的是 （请写出符合题意的所有编号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

16.（本小题满分12分）

已知函数

,其中

（1）求函数
在
上的单调递增区间和最小值；

（2）在
中，
分别是角
的对边，且
，求
的值．

17. （本小题满分12分）

已知四边形
是菱形,
四边形
是矩形，平面
平面
，
分别是
的中点.

（1）求证 : 平面
平面
；

（2）若平面
与平面
所成的角为
,

求直线
与平面
所成的角的正弦值.

18.（本小题满分12分）

甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为
，假定各次射击相互之间不受影响，则三人各射击一次，击中目标的次数记为
.

（1）求
的分布列及数学期望；

（2）在概率
中，若
的值最大，求实数
的取值范围.

19. （本小题满分13分）

已知数列
中，
，
．

（1）设
，求
；

（2）记
，求数列
的前
项和
．

20.（本小题满分13分）

已知函数
.

（1）求
的最小值；

（2）已知：
，求证：
；

（3）
图象上三点A、B、C，它们对应横坐标分别为
，
，
，且
，
，
为公差为1 等差数列，且均大于0，比较
与
的大小.

21. （本小题满分13分）

如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若以
为圆心，
为半径作圆
，过椭圆上一点
作此圆的切线，切点为
，且
的最小值不小于为
．

（1）求椭圆的离心率
的取值范围；

（2）设椭圆的短轴长为
，圆
与
轴的右交点为
，过点
作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点，若
，求直线
被圆
截得的弦长
的最大值．

参考答案

选择题：

1. C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A 9.C 10.B

二．填空题：

11.
12.
13.
14.10 15.①④

三．解答题：

16.

………3分

由单调递增知：
……..…4分

17. 解:

(1)
分别是
的中点

所以
------------①

连接
与
交与
,因为四边形
是菱形,所以
是
的中点

连
,
是三角形
的中位线

---------②

由①②知,平面
平面

(2)
平面
平面
,所以
平面

取
的中点
,
平面
,

建系
，设
,则
，

，
，

设平面
的法向量为

,所以

平面
的法向量

,所以

所以
,设直线
与平面
所成的角为

18. 解：（1）设
是“
个人射中，
个人未射中”的概率，其中
的可能取值为0，1，2，3.

，

所以
的分布列为

0

1

2

3
















的数学期望为
.

（2）由
，

，

，

可得
及
，解得
.

即实数
的取值范围是
.

19. 证明：（1）由条件，得
，

则
．

即
，所以
，
．

所以
是首项为
2，公比为2的等比数列．
，所以
．两边同除以
，可得
．于是
为以
首项，－
为公差的等差数列．所以
．

（2）
，由
，则
．

而
．

（3）∴
．

，

∴
．

令Tn＝
， ①

则2Tn＝
． ②

①－②，得
Tn＝
，Tn＝
．

∴
．

20.（1）
，
时
，
时
，

故
在
时，
取最小值，
（4分）

（2）由（1）可得：
，故：
，

只需证明
，只需比较
与
大小

∵
，∴
，故结论成立 （9分）

（3）
，

∵
在
为增函数，∴
，

∴比较
和
大小，只需比较
和
大小

∵

∴
<
∴

21.解析：（1）依题意设切线长

∴当且仅当
取得最小值时
取得最小值，而
…………2分

，
，从而解得
，故离心率
的取值范围是
； ………………………………5分

（2）依题意
点的坐标为
，则直线的方程为
设
，， 联立方程组
得
，

由根与系数的关系，则有
，
，…………………7分

代入直线方程得

，
，又
，
，
，…………………9分

直线的方程为
，圆心

到直线
的距离
，由图象可知
，

，
，

，所以
．

………………………………………………13分