北师特学校2012～2013学年度第二次月考

文科数学试题

（满分150分；考试时间：120分钟）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 若
，
，
是虚数单位，且
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】根据复数相等，可知
，即
，所以
，选D.

2. 命题“存在
，使得
”的否定是 （ ）

A．不存在
，使得
” B．存在
，使得
”

C．对任意的
，有

0 D．对任意的
，使得

【答案】D

【解析】特称命题的否定式全称命题，所以选D.

3. 若向量
，
，
，则实数
的值为 （ ）

A．
B．
C． 2 D．6

【答案】D

【解析】因为
，所以
，所以
。选D.

4. 下列各式中值为
的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】B

【解析】因为
，选B.

5.在等差数列｛an｝中，
，公差
，若前n项和Sn取得最小值，则n的值为（ ）

7
8
7或8
8或9

【答案】C

【解析】
,由
得
，即
。即
，当
时，
。所以要使Sn取得最小值，则有
最小，选C.

6. 等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn, 若
, 则
（ ）

【答案】A

【解析】在等差数列中
,选A.

7. 为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像（ ）

向左平移
个长度单位
向右平移
个长度单位

向左平移
个长度单位
．向右平移
个长度单位

【答案】B

【解析】
,所以只需把函数
的图像向右平移
个长度单位，即可，选B.

8．用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设
(x
0),

则
的最大值是 （ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】分别作出函数
的图象，由图象可知，
点的函数值最大，此时由
，解得
，所以选C.

二、选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）

9. 已知
，则
=

【答案】

【解析】

10. 设平面向量
，若
，则

【答案】

【解析】因为
，所以
，解得
。

11. 函数
的值域为

【答案】

【解析】
，当且仅当
，即
时取等号，所以函数的值域为
。

12.函数
的对称轴的集合为

【答案】

【解析】由
，得
，即对称轴的集合为
。

13. 设等差数列
的前
项和为
，
，则
等于

【答案】15

【解析】在等差数列中，
。所以
。

14. 已知函数
,若函数
的图像经过点（3，
），则
___;

若函数
是
上的增函数，那么实数a的取值范围是

【答案】2；

【解析】若函数
的图像经过点（3，
），则
，解得
。若函数
是
上的增函数，则有
，即
，所以
，即
，所以实数a的取值范围是
。

三、解答题：

15．(本题12分) （1）化简
．

（2）若
，求
的值。

解：（1）

16.（本小题满分13分） 已知
，
。

（1）若
的夹角为
，求
的值；

（2）若
垂直，求
的夹角。

解：（1）1 （2）

17.（本小题满分13分）

已知
为等差数列，且
，
。

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若等比数列
满足
，
，求
的前n项和公式

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差
。

因为

所以
解得

所以

（Ⅱ）设等比数列
的公比为

因为

所以
即
=3

所以
的前
项和公式为

18. 已知：函数

的周期为

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）求函数
在
上的最大、最小值。

解：（Ⅰ）

因为函数的周期为
， 所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知　

所以，

所以函数
在
上的最大、最小值分别为
，0……………13分

19．（本小题满分14分）

在
中，角
，
，
所对应的边分别为
，
，
，且
．

（Ⅰ）求角
的大小； （Ⅱ）若
，求
的面积.

解：（Ⅰ）因为
，由正弦定理，得

．

∴
．

∵
, ∴
，

∴
． 又∵　
， ∴
．

（Ⅱ）由正弦定理
，得
，

由
可得
，由
，可得
，

∴
．

20. （本题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求
的极值;

（Ⅱ）若
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围.

解：（Ⅰ）函数的定义域为
∵

当a=0时，
，则

∴
的变化情况如下表

x

(0，
)



(
，+∞)





-

0

+








极小值






∴当
时，
的极小值为1+ln2，函数无极大值.

（Ⅱ）由已知，得

若
,由
得
,显然不合题意

若
∵函数
区间
是增函数

∴
对
恒成立，即不等式
对
恒成立

即
恒成立 故

而当
，函数
，

∴实数
的取值范围为
。

另解: ∵函数
区间
是增函数

对
恒成立，即不等式
对
恒成立

设
,

若
,由
得
,显然不合题意

若
,由
,
,无解, 显然不合题意

若
,
,故
,解得

∴实数
的取值范围为