宝应县2013届高三数学第一次学习效果检测试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1．设集合
，
，则
= ▲ ．

2. 已知
为虚数单位，复数
满足
，则
= ▲ .

3. 某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用

系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在

样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ▲ .

4. 直线
与
平行,则实数
▲ ．

5．右图是一个算法流程图，若输入
的值为
则输出
的值为 ▲ .

6．从0，2，3，4这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成

无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ .

7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ ．

8. 函数
在
恰好有一个最大值和一个最小值，

则
的取值范围是 ▲ ．

9. 已知
，则
= ▲ ．

10. 在等比数列
中，
为其前
项和，已知
，
，

则
= ▲ ．

11. 设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，给出下列命题：

①若
，
，
，则
；②若
，
，
，则
；

③若
，
，
，则
；④若
，
，
，则
.

上面命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．

12. 在菱形
中，
,
,
,
,

则
▲ ．

13. 已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，右焦点为
.设线段
的中点为
，若
，则该椭圆离心率的取值范围为 ▲ ．

14. 若不等式
对任意
都成立，则实数
取值范围是 ▲ ．

二、解答题（共6道题，计90分）

15．（本题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为
、
、
.已知向量
，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，求△ABC的面积S．

16. （本题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，

且PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）求证：PC⊥
；

（2）求证：CE∥平面PAB；

（3）求三棱锥P－ACE的体积V．

17. （本题满分15分）

以双曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆记为C. 椭圆C长轴的左、右端点分别为A、B，点F是椭圆C的右焦点，点P在椭圆C上且位于
轴上方，
.错误！未找到引用源。（1）求椭圆C的的方程；

（2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于
，求椭圆上的点到点M 的距离
的最小值．

18. （本题满分15分）

如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米. AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问: 如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？

19．（本题满分16分）

已知函数
，其中
．

①若
，
，求
的单调递减区间；

②若
在区间
、
内各有一个极值点，且
恒成立，求
的取值范围；

③对于给定的实数
、
、
，函数
图象上两点
，
（
）处的切线分别为
．若直线
与
平行，证明：A、B关于某定点对称，并求出该定点．

20. （本题满分16分）

在数列
中，
，且对任意的
，
成等比数列，且公比为
.

（1）若
（
），求
；

（2）若对任意的
，
成等差数列，其公差为
，设
.

求证：数列
是等差数列，并求出其公差；

若
，试求数列
的前
项和
.

答案

一、填空题（每题5分，计70分）

1.
2.
; 3、19 4.
; 5. 1;

6.
; 7.
; 8.
9.
10.
11. ② ④ 12.
13.
14.

二、解答题（共6道题，计90分）

15. （本题满分14分）

16. （本题满分14分）

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，

∴BC＝
，AC＝2．取
中点
，连
，

∵PA＝AC＝2，∴PC⊥
． ………2分

∵PA⊥平面ABCD，
平面ABCD，

∴PA⊥
，又∠ACD＝90°，即
，

∴
，∴
，

∴
． ∴
．………5分

∴PC⊥
． ………6分

（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM
平面PAB，PA
平面PAB，

∴EM∥平面PAB． …………………8分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，

∴MC∥AB． ∵MC
平面PAB，AB
平面PAB，

∴MC∥平面PAB． ∵EM∩MC＝M， ∴平面EMC∥平面PAB．……………10分

∵EC
平面EMC，∴EC∥平面PAB． …………………11分

证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点． …………………8分

∵E为PD中点，∴EC∥PN． …………………10分

∵EC
平面PAB，PN
平面PAB，∴EC∥平面PAB． …………………11分

(3)由(1)知AC＝2，
．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2
，得
．…………13分

则V＝
． …………………14分

17. （本题满分15分）

解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2错误！未找到引用源。，半焦距c1=错误！未找到引用源。，

∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4， ……………2分

椭圆的短半轴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

∴所求的椭圆方程为错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ………4分

（2）由已知错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，设点P的坐标为错误！未找到引用源。，则

错误！未找到引用源。 由已知得

错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。，

解之得错误！未找到引用源。， ………………7分

由于
，所以只能取错误！未找到引用源。，于是错误！未找到引用源。，所以点P的坐标为错误！未找到引用源。

…………………9分

（3）直线错误！未找到引用源。，设点M是错误！未找到引用源。，则点M到直线AP的距离是错误！未找到引用源。，于是错误！未找到引用源。，

又∵点M在椭圆的长轴上，即 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ………11分

∴当错误！未找到引用源。时，椭圆上的点到错误！未找到引用源。的距离

错误！未找到引用源。 ………………13分

又错误！未找到引用源。 ∴当错误！未找到引用源。时，
取最小值错误！未找到引用源。 ………………15分

18. （本题满分15分）

解法1：分别以AB、AD所在直线为
轴、
轴建立直角坐标系
，则圆弧DC的方程为：
，设
，圆柱半径为
，体积为
，则
，
，
， …………………3分

∴
=
，

， …………………6分

设
，
，

，令
，得
， …………………10分

当
时，
，
是减函数；当
时，
，
是增函数，

∴当
时，
有极大值，也是最大值，

∴当
米时，
有最大值
米3，此时
米，………14分

答：裁一个矩形，两边长分别为
和
，能使圆柱的体积最大，其最大值为

。 …………………15分

解法2：设
，则
，
，

由
，得
，

∴
， …………………6分

设
，
，
，

令
，得
，

当
时，
，
是减函数；当
时，
，
是增函数，

∴当
时，
有极大值，也是最大值。…………………10分

以下略。 …………………14分

答：裁一个矩形，两边长分别为
和
，能使圆柱的体积最大，其最大值为

。 …………………15分

19. （本题满分16分）

解：（1）当
，
时，
，解得
，

故递减区间为
．