保密★启用前 试卷类型：A

2013年高考模拟考试

文 科 数 学 2013.3

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

锥体的体积公式：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

（1）已知全集
，集合
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】D

，所以

，选D.

（2）已知
，则

（A）1 （B）2 （C）-1 （D）-3

【答案】A

由题意知
，所以
，选A.

（3）“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B

由
得
。由
得
，所以“
”是“
”的必要不充分条件，选B.

（4）给出下列三个结论：

①命题“若
，则方程
有实数根”的逆否命题为：“若方程
无实数，则
0”.

②若
为假命题，则
均为假命题.

③若命题
，则
.

其中正确结论的个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【答案】C

①正确。②若
为假命题，则
至少有一个为假命题，所以②错误。③正确，所以正确结论有2个，选C.

（5）执行右面的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数
值的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【答案】C

由题意知
。当
时，由
，得
，解得
。当
时，由
，得
，所以输入的实数
值的个数为3个，选C.

（6）已知数例
为等差数例，其前
项的和为
，若
，则公

差

（A）1 （B）2 （C）3 （D）

【答案】B

在等差数列中，
，解得
所以解得
，选B.

（7）已知圆
经过
两点，圆心在
轴上，则圆
的方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】D

设圆心坐标为
，则
,即
，解得
，所以半径
，所以圆
的方程是
，选D.

（8）函数
的图象大致是

【答案】A

函数为偶函数，所以图像关于
轴对称，排除B,C.当
时，
，所以选A.

（9）把函数
的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移
个单位长度，得到的函数图象对应的解析式是

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】A

把函数
的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到
，再把所得函数图象向左平移
个单位长度，得到的函数图象对应的解析式
，选A.

（10）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为
，且一个内

角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为

（A）
（B）
（C）4 （D）8

【答案】C

由三视图可知，该几何体是由两个相同的四棱锥构成的组合体。因为正视图、侧视图都是面积为
，且一个内角为60°的菱形，所以设边长为
，则
，所以
。则四棱锥的各侧面的斜高为1，所以这个几何体的表面积为
，选C.

（11）已知
′
是函数
的导函数，如果
′
是二次函数，
′
的图象开口向上，顶点坐标为
，那么曲线
上任一点处的切线的倾斜角
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

由题意知
，所以
，即
，所以
，选B.

（12）如图，
是圆
的直径，
是圆弧
上的点，
是直径

上关于
对称的两点，且
，则

（A）13 （B）7 （C）5 （D）3

【答案】C

连结AP,BP.则
,所以

.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）

篮球组

书画组

乐器组



高一

45

30





高二

15

10

20



学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则
的值为 .

【答案】30

由题意知，
，解得
。

（14）设实数
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 .

【答案】25

由
得
。作出不等式组对应的平面区域，如图
，平移直线
，由图象可知，当直线
经过点F时，直线
的截距最大，此时
最大。由
，解得
，即
,代入
得
。

（15）已知抛物线
的准线过双曲线
的右焦点，则双曲线的离心率为 .

【答案】2

抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
。则
。所以
，解得
，所以双曲线的离心率为
。

（16）定义在
上的偶函数
，且对任意实数
都有
，当
时，

，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是 .

【答案】

由
得函数的周期为2.由
，得
，分别作出函数
的图象，
,要使函数有4个零点，则直线
的斜率
，因为
，所以
，即实数
的取值范围是
。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

（17）（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）在
中，
的对边分别为
，已知
，

求
的值.

（18）（本小题满分12分）

甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了
、
、
、
四所需要面试的院校，这四所院

校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位

同学选择各个院校是等可能的，试求：

（Ⅰ）甲、乙选择同一所院校的概率；

（Ⅱ）院校
、
至少有一所被选择的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图，已知平面
平面
，四边形
为矩

形，四边形
为直角梯形，
，

.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求四棱锥
的体积.

（20）（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和是
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，令
…
，求
.

（21）（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，直线
与以原点为圆心，

椭圆的短半轴为半径的圆
相切.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
与曲线
的交点为
、
，求
面积的最大值.

（22）（本小题满分13分）

设函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性.