2013届高三下学期第二次联考数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 本试卷共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸、试题卷上答题无效.

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损. 考试结束后，将答题卡交回.

参考公式：

样本数据
，
，
，
的标准差 锥体体积公式：

　其中
为底面面积，
为高

其中
为样本平均数 球的表面积、体积公式

柱体体积公式
，

其中
为球的半径

其中
为底面面积，
为高

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数
的定义域为

A．
B．
C．
D．

2．若复数
(其中
是虚数单位)，则
=

A．－2 B．－1 C．0 D．2

3．某中学高三（1）班有学生55人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、49号的同学均被选出，则被选出的5名同学中还有一名的座位号是

A．36 B．37 C．38 D．39

4．若角
的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为

A．
B．
C．
D．

5．已知平面向量a、b均为单位向量，且a与b的夹角为1200，则

|2a＋b|=

A．3 B．7 C．
D．

6．某算法程序如图所示，执行该程序，若输入4，则输出的S为

A．36 B．19 C．16 D．10

7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图都是半径为2的圆，则这个几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a，b，

c成等比数列，A=600，则
=

A．
B．
C．
D．

9．下列命题中，假命题的是

A．
B．

C．
D．

10．以双曲线
的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是

A．
B．

C．
D．

11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在BC1上，动点P、Q分别在AD1、CD上，若
，
，则四面体P－EFQ的体积

A．与x、y都有关 B．与x有关、与y无关

C．与x、y都无关 D．与x无关、与y有关

12．设函数
的定义域为D，如果
，使

(C为常数
成立，则称函数
在D上的均值为C. 给出下列四个函

数：①
；②
；③
；④
，则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置.

13．
= ．

14．记等差数列
的前
项和为
，若
，则直线
的斜率为= ．

15．如图，曲线AC的方程为
，为估计椭圆
的面积，现采用随机模拟方式产生
的200个点
，经统计，落在图中阴影部分的点共157个，则可估计椭圆
的面积是 ．（精确到0.01）

16．若X是一个集合，
是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于
，
属于
；②
中任意多个元素的并集属于
；③
中任意多个元素的交集属于
．则称
是集合X上的一个拓扑．已知集合

X =
，对于下面给出的四个集合
：

①
；

②
；

③
；

④
．

其中是集合X上的拓扑的集合
的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知
为数列
的前
项和，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前n项和
．

18．（本小题满分12分）

某电视台2012年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：

赛制规定：参加复赛的40名

选手中，获得的支持票数排在

前5名的选手可进入决赛，若

第5名出现并列，则一起进入决赛；

另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。

（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；

（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．

19．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
在
上的值域；

（Ⅱ）若对于任意的
，不等式
恒成立，求
．

20．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=3，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF
平面EFDC，设AD中点为P．

（Ⅰ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF；

（Ⅱ）设BE=x，当x为何值时，三棱锥A－CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2为正三角形，且以线段F1F2为直径的圆与直线
相切.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率e；

（Ⅱ）若点P为焦点F1关于直线
的对称点，动点M满足
. 问是否存在一个定点T，使得动点M到定点T的距离为定值？若存在，求出定点T的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）

已知函数
的导函数是
，
在
处取得极值，且
.

（Ⅰ）求
的极大值和极小值；

（Ⅱ）记
在闭区间
上的最大值为
，若对任意的

总有
成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）设
是曲线
上的任意一点．当
时，求直线OM斜率的最小值，据此判断
与
的大小关系，并说明理由．

宁德一中、罗一中、尚德中学2013届高三第二次联考

文科数学 答题卡

▄ ▄

客 观 题



01 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

02 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

03 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]



04 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

05 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

06 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]



07 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

08 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

09 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]



10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]



第II卷 非选择题（用黑色签字笔书写）

二 填空题（用黑色签字笔书写）

13. 14.

15. 16.



三　解答题（用黑色签字笔书写）

、

三、解答题：

∴所求概率为
. ………………………………………12分

19．解：(Ⅰ)

， ……………………………3分

∵
，∴
，∴
，

∴
，即函数
在
上的值域是[－3，3] ． ………………6分

（Ⅱ）∵对于任意的
，不等式
恒成立，

∴
是
的最大值，∴由
，

解得
， …………………………10分

∴
． …………………………12分

20．解：（Ⅰ）取
的中点
，连
、
，

则


，

又
∥
，

∴


，即四边形
为

平行四边形， …………………3分

∴
∥
，又EQ
平面
，
平面ABEF，

故
∥平面
. ……………………………6分

（Ⅱ）因为平面
平面
，平面
平面
，

又
∴
平面
……………………………8分

由已知
，所以

故
， …………………11分

∴当
时，
有最大值，最大值为
. ……………………………12分

22．解：（ I）依题意，
，解得
，　　 ……………………1分

由已知可设
，因为
，所以
，

则
，导函数
．　　…………………………3分

列表：



1

（1,3）

3

（3，＋∞）





+

0

-

0

+





↗

极大值4

 ↘

极小值0

↗



由上表可知
在
处取得极大值为
，

在
处取得极小值为
．　　　　 …………………………………5分

（Ⅱ）①当
时，由（I）知
在
上递增，

所以
的最大值
，　　　　　 ……………………6分

由
对任意的
恒成立，得
，则
，

∵
，∴
，则
，∴
的取值范围是
．……8分

②当
时，因为
，所以
的最大值
，

由
对任意的
恒成立，得
， ∴
，

因为
，所以
，因此
的取值范围是
，

综上①②可知，
的取值范围是
．　　　　　　　　……………………10分

（Ⅲ）当
时，直线
斜率
，

因为
，所以