郑州市47中2013届高三最后押题冲刺数学理试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合
,则
( )

A、
B、
C、
D、

2、
为虚数单位，则

A.
B.
C.
D.

3、已知
，函数
在
上单调递减。则
的取值范围是（ ）

4、已知函数
,则函数
的零点个数为 （ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

5、如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数
图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为 （　　）

A、
B、
C、
D、

6、执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为

A、4 B、5 C、6 D、7

7、下列叙述中，正确的个数是

①命题p：“
”的否定形式为
：“
”；

②O是△ABC所在平面上一点，若
，则O是△ABC的垂心；

③“M＞N”是“
”的充分不必要条件；

④命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”．

A、1 B、2 C、3 D、4

8、如图，正方体
的棱长为1，线段
上有两个动点E，F，且
，则下列结论中错误的是

A、

B、

C、三棱锥
的体积为定值

D、

9、已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为
，
为双曲线右支上一点，则
最小值为 （ ）

A、
B、
C、
D、

10、不等式
所表示的平面区域的面积为
,则
的最小值为（ ）

A、30 B、32 C、34 D、36

11、偶函数
满足
,且在
时，
，则关于
的方程
在
上的根的个数是 （ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

12、用新的定义符号
来表示两个向量
,
间的“距离”，若向量
,
满足：(1)
(2)
,(3)对任意的
恒有
则 （ ）

A、
B、
C、
D、

第
卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、在△
中，
的对边分别是
，且
是
的等差中项，则角
= .

14、在
的展开式中，含
的项的系数为___________

15、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_____________

16、已知
为抛物线
上的一个动点，
为圆
上一个动点，点
到
轴距离为
,则
的最小值为_____________

三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知等比数列
中，
，且满足：
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，数列
的前n项和为
，求
．

18.（本小题满分12分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）. 已知甲厂生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5



x

169

178

166

175

180



y

75

80

77

70

81



求乙厂生产的产品数量；

当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列及其均值（即数学期望）。

20．（本小题满分12分）已知椭圆

的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
，
，
是椭圆
上关于
轴对称的任意两个不同的点，连结
交椭圆
于另一点
，证明直线
与
轴相交于定点
．

21、（本小题满分12分））设函数
．

（1）若函数
在
上为减函数，求实数a的最小值；

（2）若存在
，使f(x1)≤
成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知圆
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
．

（1）将圆
的参数方程化为普通方程，将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）圆
、
是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲

已知函数

（1）若a=1，解不等式
；

（2）若
，求实数
的取值范围。

郑州市第47中学2012－2013学年上期高三年级适应性测试题

理科数学答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

DCABC ACDAB CC

第
卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、
14、21 15、
16、

三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18、（12分）【解析】解：（1）
，即乙厂生产的产品数量为35件。

（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品

故乙厂生产有大约
（件）优等品，

（3）
的取值为0，1，2。

所以
的分布列为

0

1

2



P









 故

(2)

所以如图建立空间直角坐标系

AB=2,则
, B(0,0,
), D(0,
,0) E(1,0,0), C(2,
,0)

,
),
,

设
,

设平面PDE的法向量为
,

则
即

易知平面CDE的法向量为

解得

所以当
时，二面角
的大小为
。

20．（本小题满分12分）

21．（Ⅰ）由已知得x＞0，x≠1．

因f (x)在
上为减函数，故
在
上恒成立．

所以当
时，
．

又

，

故当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
． ………………4分

（Ⅱ）命题“若存在
使
成立”等价于

“当
时，有
”．

由（1），当
时，
，

．

问题等价于：“当
时，有
”．

①当
时，由（1），
在
上为减函数，

则
=
，故
． ………………8分

22．（Ⅰ）
切⊙
于点
，

平分

，

………………5分

（Ⅱ）

∽
，

同理
∽
，

………………10分

24、解：(1)、当
时，由
,得
,解得,

故
的解集为

（2）、令
,则

所以当
时，
有最小值

只需
解得

所以实数a的取值范围为
.