莆田一中2013届高三模拟数学（文科）试卷

（考试时间：120分钟 分值：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1、
的值等于（ ）

A．
B．
C．—
D．—

2、下列函数中，定义域为
的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3、若集合
，则
的值等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4、若矩形ABCD中AB边的长为2，则
的值等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5、若非负实数
，则
的最大值是（ ）

A．2 B．
C．
D．3

6、若一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的四条侧棱长之和等于（ ）





A.
B.
C
D

7、已知命题
：有的三角形是等腰三角形，则（ ）

A．
：有的三角形不是等腰三角形B．
：有的三角形是不等腰三角形

C．
：所有的三角形都是等腰三角形D．
：所有的三角形都不是等腰三角形

8、若在区间[0，5]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，5]内的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、若茎叶图所表示的是甲、乙两名同学在5次数学考试中的成绩，若
、
分别表示甲、

乙的平均成绩，则下列结论正确的是（ ）

A．
＜
，且甲比乙成绩稳定

B．
＜
，且乙比甲成绩稳定

C．
＞
，且甲比乙成绩稳定

D．
＞
，且乙比甲成绩稳定

10、在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c。若角A，B，C依次成等差数列，且
，则△ABC的面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．2

11、给出下列四个命题：（ ）

①离心率为
的双曲线的两渐近线互相垂直；

②过点（1，1）且与直线
=0垂直的直线方程是
；

③抛物线
的焦点到准线的距离为1；

④对
，方程
均表示圆。其中所有正确的命题个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12、若函数
则关于x的方程式
的实数解的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．

13、若命题“
”为真命题，则实数a的取值范围为 。

14、运行如图所示程序，输出的结果是 。

15、若圆：
被直线
截得的弦长为
，而函数
的零点落在区间
内，则正整数
的值等于 。

16、若
为集合

的子集，且满足两个条件：

（i）

（ii）对任意的
，至少存在一个
，使
，则称集合组
具有性质P。当
时，给出下列三个集合组：

集合组①：

集合组②：

集合组③：
其中，具有性质P的集合组的序号是 。（写出所有具有性质P的集合组的序号）

三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程

17、（本小题满分12分） 已知
为各项均为正数的等比数列
的前n项和，且
（I）求数列
的通项公式；

（II）若
，求n的最小值。

18、（本小题满分12分）已知函数

（I）画出函数在
的简图；

（II）写出函数的最小正周期和单调递增区间；并确定x的值使得函数
取得最大值。

（III）若x是△ABC的一个内角，且
，试判断△ABC的形状。

19、（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCD中，PD⊥面ABCD，底面四边形ABCD是菱形。（I）求证：AC⊥PB；

（II）若∠DAB=60°，E是PC边上的一点，

且PA∥平面EDB，记
，求
的值。

20、（本小题满分12分）某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：

A组

B组

C组



疫苗有效

673

x

y



疫苗无效

77

90

z



若在全体样本中随机抽取1个，恰好抽到B组疫苗有效的概率是0.33。

（1）求x的值；

（II）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？

（III）若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过，已知
，求这种新流感疫苗不能通过测试的概率。

21、（本小题满分12分）已知函数
是这两个函数的图象的公共点。

（I）若函数
在点P处的切线方程为
，求实数b的值。

（II）令
.判断函数
的零点个数。

22、（本小题满分14分）如图，A，B，C为我国领海中的三座小岛，AB=4海里，AC=
海里，且∠BAC=150°在此。某训练基地模拟我国“北斗一号”卫星定位系统的工作原理在A，B，C处建立了信号发射器并定时发送某种信号，该信号在A，B间的传送时间为
，用
分别表示信号在训练船P与A，B，C间的传送时间。

（I）若训练船P在航道的航行过程中测得
恒为定值，且在某时刻测得
，
满足
，试建立恰当的平面直角坐标系，并求出该训练船的航道所在的曲线方程；

（II）在（I）的条件下，若训练船P在某时刻测得
，试以点A为基准，确定该训练船在这一时刻的位置（方位和距离）。

莆田一中2012－2013学年度高三数学（文科）试卷

参考答案

1-5 BBADD 6-10 DDBBC 11-12 CA

13、
14、24 15、3 16、②

17、解：（1）
……2分

图象如右图所示…………5分

（II）该函数的最小正周期为
，

单调增区是
，

当
时，函数取

最大值，最大值为
……9分

（III）由
，且x是△ABC

的一个内角，得
，从而
，所以

△ABC是直角三角形……12分

18、解：（I）设数列
的公比为
，由
，所以
。因为数列
的各项均为正数，故q=2，由
得
所以
。故数列
的通项公式为
………………6分

（II）因为
，所以
，

又
，即
，解得
。故
的最小值为8。……12分

19、（I）证明：连结AC，因为四边形

ABCD为菱形，所以AC⊥BD。

又因为PD⊥面ABCD，AC
面ABCD，

所以AC⊥PD。又PD
BD=D，

所以AC⊥面PBD。

又PB
面PBD，所以AC⊥PB。……5分

（II）解：记AC
BD=0，连结EO。因为PA∥面BDE，且OE
平面BDE，所以PA∥OE。又因为O为AC的中点，所以E为PC的中点。又在△PDC为直角三角形，所以DE=EC。在菱形ABCD中，因为∠DAB=60°，所以BD=BC，因此，在△BDE与△BEC中，有DE=EC，BD=BC，BE=BE，所以△BDE≌△BCE。所以
………………12分

20、解：（I）由题意，在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33，所以抽到B组疫苗有效的样本数为2000×0.33=660，即x=660。……3分

（II）A组样本共有750个，B组样本共有750个，故C组样本共有500个，由360×
，故应在C组抽取90个…………6分

（III）设测试不能通过的事件为M，C组疫苗可能的情况为（y,z）。由
，所以样本空间包含的基本事件有：

（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30）共6个。

若这种新流感疫苗不能通过测试，则
>10%，即z>33，故事件M包含的基本事件有（465，35），（466，34）共2个。所以
。所以该流感疫苗不能通过测试的概率为
………………12分

21、解：以BA为x轴，AB中点O为原点，并取正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，则

（I）由已知得船P的航线是以A，B为焦点的椭圆，

因为
所以
，

即所求椭圆的离心率
，

又
，即c=2，故
，

从而训练船P的航道所在的曲线方程为
……6分

（II）因为AC=4
，且∠BAC=150°，所以点C的坐标为

设
，由
得
，

整理得
①

又点P在椭圆上，所以
②

②—①得
所以

此时，训练船位于距点A4海里，在点A的北偏西30°的点P处。……14分