第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={3，5}，则

（A）{1，2，4，5} （B）{1，5} （C）{2，4} （D）{2，5}[来源:学科网]

2．函数
的图象大致是

3．下列命题为真命题的是

（A）若
为真命题，则
为真命题

（B）“
”是“
”的充分不必要条件

（C）命题“若
，则
”的否命题为：“若

，则
”[来源:学科网ZXXK]

（D）命题p：
，
，则
：
，

4．已知直线
和平面
， 则下列命题正确的是

（A）若
∥
，
，则
∥
（B）若
∥
，
，则
∥

（C）若
⊥
，
，则
⊥
（D）若
⊥
，
⊥
，则
∥

5．若双曲线
的渐近线与圆
（
）相切，则

（A）5 （B）
（C
）2 （D）
[来源:Zxxk.Com]

6．由数字0，1，2，3，4，5
组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是

（A）36 （B）48 （C）60 （D）72

7. 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料l
千克、B原料2千克；生产乙产品l桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品
中，公司共可获得的最大利润是

（A）2200元 （B）2400元

（C）2600元 （D）2800元

8. 函数
（
）
的部分图像如图所示，如果
，且
，则
（ ）

（A）
　 （B）
（C）
（D）1

9．执行右图所示的程序框图（其中
表示不超过
的最大整数），则输出的S值为

（A）4 （B）5

（C）7 （D）9

10．已知定义在
上的函数
则

（A）函数
的值域为

（B）关于x的方程
（
）有2
＋4个不相等的实数根

（C）存在实数

，使得不等式
成立

（D）当
时，函数
的图象与x轴围成的面
积为2

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．

11．已知i是虚数单位，
∈R，若
，则
_______．

12．如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
．

13．已知右图是一个空间几何体的三视图，

则该几何体的体积为 .

14．若二项式
的展开式中含
项的系数为
，则实数
．

15．如图，在平面斜坐标系
中，
，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若
（其中
，
分别是
轴，
轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(
，
)，向量
的斜坐标为(
，
)．给出以下结论：

①若
，P(2,－1)，则
；

②若
，
，则
；

③若
，
，则
；

④若
，以
O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为
．其中所有正确的结论的序号是 ．

三、解答题：本
大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）设数列
满足

(I)求数列
的通项公式；

(II)设
求数列
的前
项和
.[来源:Zxxk.Com]

17．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，
分别是角A、B、C的对边，且
．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若
，且△ABC 的面
积为
，求
的值.

18．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A小区有1人，B小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是
， B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是
．

（Ⅰ）求A、B两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率；

（Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A、B两个小区参会人数的和为
，试求
的分布列和数学期望．

19．
（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且
．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

20．（本小题满分13分）已知椭圆C：
(
)经过
与
两点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足
．求证：
为定值．

21．（本小题满分14分）已知函数
，
（其中
）．

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在区间
内有两个零点，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：当
时，
．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）



三、解答题：

17．解析 （Ⅰ）由
及正弦定理，

得
（
），

∴
，∵△ABC是锐角三角形，

∴
． 6分

（Ⅱ）∵
，
，∴△ABC 的面积
，

∴
． ① 8分

由余弦定理，
，即
．② 10分

由①×3＋②，得
，故
． 12分

18． 解析 （Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A，则
． 4分

（Ⅱ）随机变量
的可能值为0，1，2，3，4．

；

；

；

；

．（每对一个给1分） 9分

的分布列如下：

0

1

2

3[来源:学.科.网]

4




P













 10分

∴
的数学期望
． 12分

18．取
的中点M，

，

为
的中点，又
为
的中点，∴
，

在三棱柱
中，
分别为
的中点，

，且
，

则四边形A1DBM为平行四边形，
，

，又
平面
，
平面
，

平面
． 6分

（Ⅱ）连接DM，分别以
、
、
所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则
，
，
，
，

∴
，
，
．

设面BC1D的一个法向量为
，面BC1E的一个法向量为
，

则由
得
取
，

又由
得
取
，

则
，

故二面角E－BC1－D的余弦值为
． 12分

21．解析 （Ⅰ）
，

∴
（
，
），

由
，得
，由
，得
，

故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以函数
的极小值为
，无极大值． 4分

（Ⅱ）函数
，

则

，

令
，∵
，解得
，或
（舍去
），

当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增．

函数
在区间
内有两个零点，

只需
即
∴

故实数a的取值范围是
． 9分

（Ⅲ）问题等价于
．由（Ⅰ）知
的最小值为
．

设
，
得
在
上单调递增，在
上单调递减．

∴
，

∵

=
，

∴
，∴
，故当
时，
． 14分