阜阳一中2013届高三最后一次模拟数学文试题

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
= （ ）

（A）
（B）
（C）

（D）

（2）“
”是“直线
与直线
平行”的 （ ）

（A） 充分不必要条件 　 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 　　　　　（D） 既不充分也不必要条件

（3）已知
为平行四边形，若向量
，
，则向量
为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知
为等差数列，若
，则
（ ）

（A）24 （B）27 （C）15 （D）54

（5）已知点
，
,
，以线段
为直径作圆
，则直线
与圆
的位置关系是 （ ）

（A）相交且过圆心 （B）相交但不过圆心 （C）相切 （D）相离

（6）一个棱长为2的正方体沿其棱的中

点截去部分后所得几何体的三视图

如图所示，则该几何体的体积为 （ ）

（A）7 （ B）

（ C）
（D）

（7）执行如右图所示的程序框图，输出

的S值为 （ ）

（A）
（B ）1

（C ）
（D）2

（8）已知实数4，
，9成等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）
或

（9）已知函数
，若函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）若对于定义在R上的函数
，存在常数
，使得
对任意实数
均成立，则称
是
阶回旋函数，则下面命题正确的是 （ ）

（A）
是
阶回旋函数 （B）
是1阶回旋函数

（C）
是1阶回旋函数 （D）
是0阶回旋函数

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置。

（11）已知x、y满足约束条件
，则函数z=x一2y的最大值为

（12） 一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取 人

（13）已知sin（
，则

（14） 已知函数
．若命题：“
，使
”是真命题，则实数
的取值范围为

（15）定义平面向量的一种运算
：
（其中
为
的夹角），则下列命题：

①
；②
；③
；

④若
=
，
，则
.

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内。

（16）(满分12分) 如图,四边形
中,
,
,
为
的内角
的对边，且满足
..

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，设

,
，

求四边形
面积的最大值。

（17）（满分12分）

某工厂生产
两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：

7

7

7．5

9

9．5





6



8．5

8．5





 由于表格被污损，数据
看不清，统计员只记得
，且
两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）求表格中
与
的值；

（Ⅱ）若从被检测的5件
种元件中任取2件，求2件都为正品的概率。

（18）（满分12分）

在平行六面体
中，所有的棱长都为2，

，平面

平面

（Ⅰ）若E是
的中点，
上是否存在点F

使
；若存在，指出点F的位置；

若不存在，说明理由；

（Ⅱ）若将平行六面体的各个面上的对角线的交点

依次相连，求所得多面体的体积。

（19）（满分13分） 各项均为正数的等比数列
中，已知
，
，
是数列
的前
项和．

（I）求数列
的通项公式；

（II）求
；

（Ⅲ）求满足
的最大正整数
的值。

（20）（满分13分）

已知抛物线 C:
，过F的直线 L交曲线C于A,B两点, 直线L的倾斜角
为锐角。

（I）抛物线上一点P满足PF

轴，P在
轴上方，求证：过点P且斜率为抛物线离心率的直线与抛物线相切；

（II）线段
的垂直平分线交
轴于点
.求证：
为定值，并求出该定值。

（21）（满分13分）

已知函数
，
，其中

（I）过点
作函数
图像的切线，求证：切线有且只有两条；

（II）若对任意的
（
为自然对数的底数）都有
成立，求实数
的取值范围。

安徽省阜阳一中2013届高三最后一次模拟考试

数学(文科)试题参考答案

一 、选择题：

二．填空题：

17.解：(Ⅰ)因为
，

由
，得
． ① ………………………………………2分

因为
，

由
，得
． ② ……………………………………4分

由①②解得
或

因为
，

所以
． ………………………………………6分

(Ⅱ) 记被检测的5件
种元件分别为
，其中
为正品，

从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:

，
，
，
，
，

，
，
，
，
， …………………………………8分

记“2件都为正品”为事件
，则事件
包含以下6个基本事件：

，
，
，
，

.……………………10分

所以
，即2件都为正品的概率为
. ………………………………………12分

由（1）知
，所以

…………………8分

由（2）知
，所以

所以

故原不等式等价于
，解得

又
，

故满足条件的最大正整数
…………………13分

20.解： （1）易得
，斜率1，
直线方程为
，

与
联立得

，
命题成立…………………6分

（2）设
，直线
，

由
得
。设
的中点
，则
，

AB的中垂线方程为：
……………11分

令
得
………………13分

21（1）由
知
在
上递增，所以
=M

【解法一】:

等价于

而
在
上恒成立，所以
……………6分

（2）证明：
，设切点为
，则过点
的切线方程为

，即

又
点
在切线上，
，代人切线方程得
，即

。令
，

易知当
时，
递增，当
时，
递减

又
，
，

所以方程
在
上有且仅有两个解，

故切线有且只有两条。……………………13分