注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

　　　2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本
试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。

2013年怀化市高三第二次模拟考试统一检测试卷

数 　学（理科）

命题人：石水生 审题人：李满禁、唐青波、蒋良银、张理科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．
的值为

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不存在

2．已知集合


则
的值为

A．21 　　 B．8　　　 C．7 D．6

3．如图是一个空间几何体的三视图，其体积为
，则图中
的值是

A．5 　　 B．4 C．3 　　 D．2

[来源:学科网ZXXK]

4．实数
的值由右上面程序框图算出，则二项式
展

　 开式的常数项为

A.
B.

C.
D.

5．若数列
满足
，则
的值为

A．2 B．
C．１　　 D．

6． 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格
点，如果函数
的图象恰好 通过
个格点，则称函数
为
阶格点函数. 给出下列4个函数：

①
；②
；③
；④
.

其中是一阶格点函数的是

A．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④

7．将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为
，第二次朝上一面的点数为
，则函数
在
上为减函数的概率是

A．
B．
C．
D．

8.下图展示了一个由区间
（其中
为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间
中的实数
对应线段
上的点
，如图1；将线段
围成一个离心率为
的椭圆，使两端点
、
恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在
轴上，已知此时点
的坐标为
，如图3，在图形变化过程中，图1中线段
的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线
与直线
交于点
，则与实数
对应的实数就是
，记作
,

现给出下列5个命题

①
； ②函数
是奇函数；③函数
在
上单调递增； ④.函数
的图象关于点
对称；⑤函数
时AM过椭圆的右焦点.其中所有的真命题是:

A.①③⑤ B.②③④ C.②③⑤ D.③④⑤

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）

9．以极坐标系中的点
为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是 ．

10.函数
的最大值是　　　　．

11.如图，圆
的半径为3，从圆
外一点
引切线
和割线
，圆心
到
的距离为
，
，则切线
的长为 .

（二）必作题（12~16题）

12．如右图，函数
的图象在点
处的切线

方程为
，则
＝ ．

13．已知
求
.

14．若不等式组
所确定的平面区域的面积为0，则实数
的取值范围为 .

15．定义在R上的函数
，
满足
，
，若
且
，则
=____.

16．用n个不同的实数
可以得到
个不同的排列，每

个排列为一行，写出一个
行的数阵，对第
行
，

记
，
.

例如：用1,2,3，可得数阵如图所示,则
= ；

那么在用1,2,3,4,5形成的数阵中，
= .

三、解答题：本大题共6小题，共
75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
且
，
，若向量
与向量
共线，求
、
的值.

18．（本小题满分12分）

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取

100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分

布表如下表所示。

组号

分组

频数

频率



第一组

[160,165)

5

0.05[来源:学科网ZXXK]



第二组

[165,170)

35

0.35



第三组

[170,175)

30

a



第四组

[175,180)

b

0.2



第五组

[180,185)

10

0.1





（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4
、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？

（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为
，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求异面直线
与
所成角余弦值的大小；

（Ⅲ）求点
到平面
的距离．

20. （本小题满分13分）

怀化市某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为
的圆面，图中圆内接四边形
为拟定拆迁的棚户区，测得
百米，
百米，
百米.

（
Ⅰ）请计算原棚户区
的面积及圆面的半径
；

（Ⅱ）因地理条件的限制，边界
，
不能变更，而边界
，
可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧
上求出一点
，使得棚户区改造的新建筑用
地
的面积最大，并求最大值.

21．（本小题满分13分）

在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点
的距离比它到
轴的距离大

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设
为曲线
上的一个动点，点
，
在
轴上，若
为圆
的外切三角形，求
面积的最小值.

22．（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）若函数
在其定义域上为单调函数,求
的取值范围；

（Ⅱ）若函数
的图像在
处的切线的斜率为0，
，已知
求证：

（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较
与
的大小，并说明理由.

2013年怀化市高三第二次模拟考试统一检测试卷

高三数学（理科）参考答案与评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

C

A[来源:Z*xx*k.Com]

D

D

D



一、选择题（
）

二、填空题（
）

选做：9．
； 10．10； 11．
；

必做：12．3； 13．24；
14．
； 　15．2； 　16．－24 ， －1080 .

三、解答题：

17解：(Ⅰ)
=
………………. 3分

当

即
时，.

f(x)取得最小值
，f(x)的最小正周期为π.…………………6分

(Ⅱ)由
得

由余弦定理得
…………………8分

由向量
=（1，sinA）与向量

共线，得sinB=2sinA

由正弦定理得b=2a…………………10分

解方程组
得a=1,b=2…………………12分

18解：（Ⅰ）由题意知，
组频
率总和为
，故第
组频率为
，

所以
………………2分

总的频数为
，因此第
组的频数为
，即
…………4分

（Ⅱ）第
组共
名学生，现抽取
人，因此第
组抽取的人数为：
人，第
组
抽取的人数为：
人，第
组抽取的人数为：
人……………7分

公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取
人，每个人被抽到的概率是相

同的……………8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）

（Ⅲ）
的可能取值为

的分布列为：

……………12分

19（Ⅰ）证明：连结OC

在
中，由已知可得

而

即

平面
………………4分

（Ⅱ）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在
中，

是直角
斜边AC上的中线，

………………8分

（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为
确规定

在
中，

而

点E到平面ACD的距离为
………………12分

方法二：（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为
则

令