第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={3，5}，则

（A）{1，2，4，5} （B）{1，5} （C）{2，4} （D）{2，5}

2．函数
的图象大致是

3．下列命题为真命题的是

（A）若
为真命题，则
为真命题

（B）“
”是“

”的充分不必要条件

（C）命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”

（D）命题p：
，
，则
：
，

4．已知直线
和平面
， 则下列命题正确的是

（A）若
∥
，
，则
∥

（B）若
∥
，
，则
∥

（C）若
⊥
，
，则
⊥
（D）若
⊥
，
⊥
，则
∥

5．以抛物线
的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

6．式子

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10

7. 实数x，y满足不等式组
则
的最大值为

（A）2 （B）1 （C）
（D）0

8. 函数
（
）
的部分图像如图所示，如果
，且
，则
（ ）

（A）
　 （B）
（C）
（D）1

9．执行右图所示的程序框图（其中
表示不超过
的最大整数），则输出的S值为

（A）4 （B）5

（C）7 （D）9

10．已知定义在
上的函数
则

（A）函数
的值域为

（B）关于x的方程
（
）有2
＋4个不相等的实数根

（C）存在实数
，使得不等式
成立

（D）当
时，函数
的图象与x轴围成的面积为2

第Ⅱ卷
(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．

11．已知i是虚数单位，
∈R，若
，则
_______．

12．如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
______．

13．已
知右图是一个空间几何体的三视图，

则该几何体的体积为 .

14．若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 ．

15．如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中终点落在阴影区域内的向量的序号是___________（写出满足条件的所有向量的序号）．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

设公比不为1的等比数列
满足：
成等差数列。

（I）求公比
的值；

（II）证明：
成等差数列。

17．（本小题满分12分）

在锐角三角形ABC中，
分别是角A、B、C的对边，且
．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若
，且△ABC 的面积为
，求
的值.

幸福指数评分值

频
数

频率



[50，60]

1





(60，70]

6





(70，80]







(80，90]

3





(90，100]

2





18．（本小题满分12分）

某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计，得到右图所示的频率分布表：

（Ⅰ）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；

（Ⅱ）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加 “幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这20人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]
的5人中有2人被邀请参加座谈，求
其中幸福指数评分值在区间(80，90]的仅有1人被邀请的概率．

[来源:Z§xx§k.Com]

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，∠BAC=90(，
平面ABC，D、E分别为
、
的中点，点
在棱
上，且
.

（Ⅰ）求证：EF∥平面
；

（Ⅱ）在棱
上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:31，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C：
(
)经过
与
两点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足
．求证：
为定值．

21．（本小题满分14分）[来源:Z+xx+k.Com]

设函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在
上有三个零点，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）设函数
，如果对任意的
,
，都有
成立，求实数
的取值范围．



三、解答题：

17．解析 （Ⅰ）由
及正弦定理，

得
（
）
，

∴
，∵△ABC是锐角三
角形，

∴
． 6
分

（Ⅱ）∵
，
，∴△ABC 的面积
，

∴
． ① 8分

由余弦定理，
，即
．② 10分

由①×3＋②，得
，故
． 12分

18．解析（Ⅰ）频率分布表：

幸福指数评分值

频数

频率



[50，60]

1

0.05



(60，70]

6

0.30



(70，80][来源:学科网]

8

0.40



(80，90]

3

0.15



(90，100]

2

0.10



 3分

频率分布直方图：

3分

（Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A1，A2，A3，（90，100]的2人分别是B1，B2，则全部基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）（A3，B1），（A3，B2），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2）共10个，

其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个．

故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率

． 12分

19．（Ⅰ）证明：取
的中点M，
，

为
的中点，又
为
的中点，∴
，

在三棱柱
中，
分别为
的中点，

，且
，

则四边形A1DBM为平行四边形，
，

，又
平面
，
平面
，

平面
． 6分

（Ⅱ）设
上存在一点
，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰31，则
．

，

，即
，所以符合要求的点
存在． 12分


21．解析 （Ⅰ）
，

由
时，解得
或
；由
时，解得
．

故函数
的单调递增区间是
，
；单调递减区间是
． 4分[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）令
，则
，∴
，

由（Ⅰ）知，当函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．

函数
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，

由函数
在
上有三个零点，则有：

即
解得
，

故实数
的取值范围是
． 9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数

在
上单调递减，在
上单调递增，

而
，
，

故函数
在区间
上的最大值
．

∴只需当
时，
恒成立即可，即等价于
恒成立，所以，记
，所以
，
，可知
，

当
时，
，
，则
，∴
在
上单调递增；

当
时，
，
，则
，∴
在
上单调递减；

故当
时，函数
在区间
上取得最大值
，

所以
，故实数a的取值范围是
． 14分