第二篇 那些年我们一起错过的题

一填空题 【你能既快又准解好填空题吗？方法是否得当？选用公式是否正确？】

⒈ 若集合
，且
，则实数
的值为 。

分析：千万不要把“
”再看成“
”了。答案：4

2．若复数
为纯虚数，则x= ．

分析：
本是纯虚数，故
答案：1.

3．当A，B
时，在构成的不同直线Ax－By＝0中，任取一条，其倾斜角小于45(

的概率是 ．

分析：在数古典概型问题中基本事件（如：直线方程、对数
的值）个数的时候，小心重复计数。答案：

4．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在
（元/月）收入段应抽出 人.

分析：关键是计算公式，40

5．函数
(x∈R)的部分图象如图所示，设O为坐标原点，
是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则
= ．

分析：
，

关键之一：B(2,0)而不是(1,0)；

关键之二：计算的公式选取．用二角和与差的正切公式，答案：8

6．若△ABC的周长等于20，面积是10
，A＝60°，则BC边的长是 ．

分析：S＝
bcsinA，得10
＝
bcsin60°，得bc＝40，b＋c＝20－a，

关键是：
．答案： 7.

7．已知数列
满足
，

，记数列
的前
项和的最大值为
，则
.

分析：关键是
，答案：

8．已知曲线
，点A(0,-2)及点B(3,a)，从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是 ．

分析：关键是用什么模型，设切点
，则切线为
，过点A(0,-2)，得切于点
，切线为
，切线与直线x=3的交点为(3,10)，故a＜10，答案：（－∞,10）

9．若椭圆
：
（
）和椭圆
：
（
）

的焦点相同且
.给出如下四个结论：

①椭圆
和椭圆
一定没有公共点； ②
；

③
； ④
.

其中，所有正确结论的序号是　　　　　　．

分析：
，从而③
成立，

关键之一：
＞
，由上得
＞
，从而①成立；②不成立；

关键之二：
→
→
＜
，从而④成立；

答案：①③④ （可令c=1的特值法）

10.（1）已知三棱锥
的所有顶点都在球
的求面上,
是边长为
的正三角形,
为球
的直径,且
;则此棱锥的体积为_____________.

（2）已知三棱锥
的所有棱长都相等，现沿
，
，
三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为
，则三棱锥
的体积为 ______ ．

分析：（1）作图，在图形中尽可能寻找我们熟悉的条件（线线垂直、 线面垂直、面面垂直等）或熟悉的图形（正四面体，正三棱柱等）。我们发现四面体
，故
，另我们发现
（同地面等高）

（2）读清题意“所有棱长都相等”可以知道三棱锥为正四面体，然后根据题意作图，可以得到棱长为
，故使用正四面体的体积公式

答案：（1）
；（2）9

11．（1）已知
，且
，
，则
的值等于 .

（2）若对满足条件
的任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .

分析：当题目中过多出现“和，差，积，平方和”即“
”这些形式的时候，就应该使用完全平方和基本不等式（

等）相结合的办法进行处理解决。

答案：（1）2；（2）
；

（3）若
满足
, 则
的值为 _____________.．

（4）设数列
满足
，且对任意的
，满足

则
______________.

分析：可以使用两边夹逼定理。（1）左边=
，右边=
，利用求导的办法可以求出右边
，故
左边=右边
，所以左边=右边=1，当且仅当
。

（2）由
得
，

所以
，即
；

由
得
；

所以可以得到
即

答案：（3）
；（4）

12.（1） 如图，两射线
互相垂直，在射线
上取一点
使
的长为定值
，在射线
的左侧以
为斜边作一等腰直角三角形
．在射线
上各有一个动点
满足
与
的面积之比为
，则
的取值范围为__________．

（2）如右侧下图, 在等腰
中, 底边
, 若
, 则
__________.．

（3）已知
为
的外心，若
， 则
等于 ______- ．

（4）已知向量
，
，满足
，
，则
的最小值为 ．

分析：向量问题一般可以采用两种方法处理，（1）（2）题图形比较特殊，故可以使用建系坐标法；（3）（4）题不能使用坐标法，故只能使用向量公式法。

答案：（1）
；（2）
；（3）
（4）
.

13.（1）定义在
上的函数
是减函数，且函数
的图象关于
成中心对称，若
满足不等式
，则当
时，
的取值范围是　___________

（2）设实数
，若不等式
对任意
都成立，则
的最小值为_______________.

（3）若动点
在直线
上，动点
在直线
上，设线段
的中点为
，且
，则
的取值范围是______________

分析：这些问题实际要求考生对“
”、“
”、“
”等这些形式要具备一定的敏感度，这些就是在线性规划问题中提及的斜率问题、距离问题等。

答案：（1）
；（2）
；（3）

14.（1）若
，且
，则
的最小值是 ．

（2）已知
中,
，
，且
，
面积的最大值是　_____________.

（3）已知圆心角为
的扇形
的半径为1，
为弧
的中点，点
分别在半径
上.若
，则
的最大值是_______________.

分析：一般这些题都偏后，做题时候，我们可以先试试能否交换下题目中的重要字母，如果交换后，发现题目没有改变的话，说明你交换的两个字母属地位等价，然后可以用特殊法操作。如：（1）“
”与“
”交换后，题目没有发生变化，故此题可以令
来解得题目的最小值。答案：
。（2）“
”与“
”交换后，题目没有发生本质变化，故此题说明点
与点
到原点的距离相等，故
可以看做等腰三角形来解答。答案：
。(3)“
”与“
”交换后，题目没有发生本质变化，故说明
=
，那么在这个条件下，再来解题是不是简单许多.答案：

二、解答题 【你能审出方法、步骤和注意点吗？能否做到会而不失分吗？】

★你能写好解题步骤吗？

15．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜．

（1）求两数字之和为6的概率；

（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：（1）设“两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为---------------1分

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．---------4分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，

所以
．

答：两数字之和为6的概率为
． ----------------------------------7分

（2）这种游戏规则不公平． --------------------------------------------9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， --------------------------10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．------------------12分

所以甲胜的概率P（B）＝
，从而乙胜的概率P（C）＝1－
＝
．

由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平．-----------------14分

★你能用好三角公式并简单讨论吗？

16．在
中，
、
、
所对的边长分别是
、
、
.满足
.

（1）求
的大小；

（2）求
的最大值.

解：（1）由正弦定理及
得，
.

在
中，
，

，即
.---3分

又

，
，

.

.

. ---------------- 7分

（2）由（1）
，

，即
.

，
，---------------12分

.

当
时，
取得最大值
----------------------------14分

★你能用设而不求法和韦达定理计算吗？

17．在平面直角坐标系
中，设点
，以线段
为直径的圆经过原点
.

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）过点
的直线
与轨迹
交于两点
，点
关于
轴的对称点为
，试判断直线
是否恒过一定点，并证明你的结论.

解：（1）由题意可得
， ------------------------------------2分

所以
，即
-------------------------4分

即
，即动点
的轨迹
的方程为
-----------------5分

（2）设直线
的方程为
,
，则
.

由
消
整理得
， --------------------------6分

则
，即
. ----------------------------------8分

. ----------------------------------------10分

直线

---------------------------------13分

即

所以，直线
恒过定点
. ---------------------------------14分

★你能挖掘“隐含条件”吗？

18．设数列{
}的前n项积为
，
．数列{
}的前n项和为
，
．若
．

（1）证明数列{
}成等差数列，并求数列{
}的通项公式；

（2）若
对
N*恒成立，求实数k的取值范围．

（1）证明：由
，得
且