北大附中河南分校2013高考押题

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设

，若
，则
　 　　　　　　 ( )

A．0 B．
　 C．0或
　 D．0或

2.＂数列
为递增数列＂的一个充分不必要条件是　　　　　　　（　　）

A.
　　 B.
　 C.
　 　　　D.

3.设实数x，y满足不等式组
．若z＝3x＋y的最大值是最小值的2倍，则a等于（）

A.
B. 3 C.
D.2

4. 若

且
，则
的可能取值是（　　）

A.
B.
C.
D.

5. 已知
分别是双曲线

的左、右焦点，若
关于渐近线的对称点恰落在以
为圆心，
为半径的圆上，则
的离心率为：　　　　（　　）

A.
B. 3 C.
D. 2

6.某校周四下午第五、六两节是选修课时间，现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课．已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课，丙、丁教师各自最多可以开设一节课．现要求第五、六两节课中每节课恰有两位教师开课（不必考虑教师所开课的班级和内容），则不同的开课方案共有（ ）种．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　（　　）

A. 15 B.16 　 C. 19 　 D.20

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A.
B. 160 C.
D.

8.非零向量
使得
成立的一个充分非必要条件是

A .
B.
C.
D.

9．已知球
的直径
，
是球
球面上的三点，
是正三角形，且

，则三棱锥
的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知集合
，则任取
，关于
的方程
有实根的概率（ ）

A．
B．
C．
D．

11.函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为

A.
B.
C.
D.

12.已知定义在
上的单调函数
，对
，都有
，则方程
的解所在的区间是

A．（1，2） B．（
） C．（0，
） D．（2，3）

二、填空题：每小题5分，共20分．

某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的

值是 　 ．

在半径为R的半球内有一内接圆柱，

则这个圆柱的体积的最大值是_____________.

已知
，

则
＝ ．

16.已知
为抛物线
的焦点，
为坐标原点．点
为抛物线上的任一点，过点
作抛物线的切线交
轴于点
，设
分别为直线
与直线
的斜率，则
_________.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）在
中，角
所对的边为
，且满足

（1）求角
的值；

（2）若
且
，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知长方体的长、宽、高分别为3、3、4，从长方体的12条棱中任取两条．设
为随机变量，当两条棱相交时，
；当两条棱平行时，
的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
．

（1）求概率
；

（2）求
的分布列及数学期望
．

19.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且

（1）证明：无论
取何值，总有AM⊥PN；

（2）当
时，求直线PN与平面ABC所成角的正切值.

20．(本小题满分12分)

如图，已知椭圆
，直线
的方程为
，过右焦点
的直线
与椭圆交于异于左顶点
的
两点，直线
、
交直线
分别于点
、
．

(Ⅰ）当
时，求此时直线
的方程；

(Ⅱ）试问
、
两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ)若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；

(Ⅱ) 记
，若
，则当
时，函数
的图象是否总在不等式
所表示的平面区域内，请写出判断过程．

请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．如图，
，
，
，
四点共圆，
与
的延长线交于点
，点
在
的延长线上．

（1）若
，
，求
的值；

（2）若
∥
，求证：线段
，
，
成等比数列．

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程

为
（
为参数）．若以直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
（其中
为常数）

（1）当
时，曲线
与曲线
有两个交点
.求
的值;

（2）若曲线
与曲线
只有一个公共点，求
的取值范围.

24.已知函数
；

解不等式
；

若对任意实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

北大附中河南分校2013高考押题

数学（理科）试题参考答案

选择题：CDCAD CCDBB BA

填空题：13：2012; 14：
; 15：1; 16：
;

解答题：

17．解：（1）由已知
得

，----------4分

化简得
，故
．----------6分

（2）由正弦定理
，得
，

故

----------8分

因为
，所以
，
，----------10分

所以
． ----------12分

18.解：(1)若两条棱相交，则交点必为长方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有
对相交棱，因此
.----------4分

（2）若两条棱平行则他们的距离为3，4，5，
，

， ---------- 5分

， ----------6分

----------7分

----------8分

所以随机变量
的分布列为：

0

3

4

5




















----------12分

19. 以A为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系

则A1（0，0，1），

B1（1，0，1）， M（0，1，
），N（
，0）

，
，

……………4分

（1）∵
，∴

∴无论
取何值，
……………6分

（2）
时，
, ……………8分

而面

设
为
所成角，

则
，
……………10分

所以直线与
与平面
所成角的正切值为
. ………………12分

20.解：（Ⅰ）①当直线
的斜率不存在时，由
可知
方程为

代入椭圆
得
又

不满足-----------------2分

②当直线
的斜率存在时，设
方程为

代入椭圆
得
-----------------------3分

设
得
-------------------------4分

-

故直线
的方程；
------------------------6分

21.解：（1）因

因函数
在
上单调递增

在
上恒成立.

------------------------4分

（2）

①当
时，
，所以函数
在
单调递增，所以其最小值为
，而
在
的最大值为1，所以函数
图象总在不等式
所表示的平面区域内 …………….6分

②当
时，

（ⅱ）当
，函数
在
单调递减，所以其最小值为

所以下面判断
与
的大小，即判断
与
的大小，其中

令
，
，

因
所以
，
单调递增；

所以
，
故存在

使得

所以
在
上单调递减，在
单调递增

所以

所以
时，

即
也即

所以函数
图象总在不等式
所表示的平面区域内 ……………..12分

22（1）解：由
，
，
，
四点共圆，得
，

又
，∴
∽
，于是
． ①

设
，
，则由
，得
，即

代入①，得
． ………5分

（Ⅱ）证明：由
∥
，得
．

∵
，∴
．

又
，

∴
∽
，于是
，

故
，
，
成等比数列． ………10分

23.解：
的方程是
，

消去参数
，得
………2分

曲线
的方程

即

转化为直角坐标方程为：
………5分

（1）当
时，联立

化简得：

即
… 6分

（2）曲线
与曲线
只有一个交点

(相切时,将
代入

得
只有一个解

得
……8分

(相交时，如图:

综上：曲线
与曲线
只有一个交点时

或
………10分

24解：
……… 2分

不等式

即
；

或
即解集为
； 或
即

综上：原不等式的解集为

……… 5分

解法二：作函数图象如下

不等式的解集为
………5分

（2）作函数
的图像如下：

不等式
恒成立．

即
恒成立 ………8分

等价于函数
的图象恒在函数
的图像上方，

由图可知a的取值范围为
………10分