阜阳一中2013届高三最后一次模拟数学理试题

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
= （ ）

（A）
（B）
（C）

（D）

（2）已知全集
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）设x,y满足约束条件
则z=-2x+y的最小值为（ ）

（A） －
（B） －1 （C） 0 （D）1

（4） 已知
为等差数列，若
，则
（ ）

（A）24 （B）27 （C）15 （D）54

（5）下列直线中，平行于极轴且与圆
相切的是 （ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）执行如右图所示的程序框图，输出

的S值为（ ）

（A）
（B） 1 （C）
（D）2

（7）已知函数y＝Asin＋m的最大值为4，最小值为0.两个对称轴间最短距离为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为 (　　)

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去

部分后所得几何体的三视图如

图所示，则该几何体的体积为 （ ）

（A）7 （B）

（C）
（D）

（9）在矩形ABCD中，AB= 1 ,AD =
,P为矩形内一点，且.AP=
若
, 则
的最大值为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）某大学的8名同学准备拼车（共同租用两辆出租车）去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一有一对的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 （ ）

（A）24种 （B）18种 （C）48种 （D）36种

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置。

（11）已知实数4，
，9成等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

（12）若圆C:
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是

（13）已知函数
．若命题：“
，使
”是真命题，则实数
的取值范围为

（14）
的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为

（15）给出定义：若
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即
.在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：

①函数
定义域是R，值域是
；

②函数
的图像关于直线
对称；

③函数
是周期函数，最小正周期是1；

④函数
在
上是增函数．

则其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内，否则不给分。

（16）(满分12分) 如图,四边形
中,
,
,
为
的内角
的对边，且满足
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，设
，
,
，

求四边形
面积的最大值.

（17）（满分12分）已知
,数列
满足
,数列
满足
……+
；又知数列
中，
，且对任意正整数
，
.

（Ⅰ）求数列
和数列
的通项公式；

（Ⅱ）将数列
中的第
项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
，求数列
的前
项和.

（18）（满分12分）已知抛物线 C:
的焦点F到其准线的距离为4，过F的直线 L交曲线C于A,B两点, 直线L的倾斜角
为锐角。

（I）抛物线上一点
满足PF

轴，
在
轴上方，求证：过点
且斜率为抛物线离心率的直线与抛物线相切；

（II）线段AB的垂直平分线交
轴于点
.求证：
为定值，并求出该定值。

（19）. （满分13分）在平行六面体
中，所有的棱长都为2，
，平面

平面

（I）证明：
；

（II）若将平行六面体的各个面上的对角线的交点

依次相连，求所得的以这些交点为顶点的多面体

的体积；

（Ⅲ）求二面角
的正切函数值。

（20）（满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵． 早高峰时段，从某市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？

（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用时间若基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用的平均时间．

（21）（满分13分）已知函数
，
，其中

（I）过点
作函数
图像的切线，求证：切线有且只有两条；

（II）若对任意的
（
为自然对数的底数）都有
成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的
（
为自然对数的底数）且
，都有
成立，求实数
的取值范围。

安徽省阜阳一中2013届高三最后一次模拟考试

数学(理科)参考答案

三、解答题：

16.

………………………………2分

17解：
,

=
………………3分

又由题知：令
，则
,


………………5分

若
，则
，
，所以
恒成立 …………………………6分

（Ⅱ）由题知将数列
中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列
中的奇数项与偶数项仍分别成等比数列，首项分别是
，
公比均是
…………9分

…………………………………………12分

18.解：易知
，故抛物线C的方程：
…………………2分

（1）易得
，斜率1，
直线方程为
，与
联立得

，
，
命题成立…………………5分

（2）设
，直线
，…………………6分

由
得
。设
的中点
，则
，
…………………8分

AB的中垂线方程为：

令
得

…………………10分

=8

即
为定值，定值为8…………………12分

由（1）知，
, 又

,

,所以
。故：
,

所以，多面体的体积为：
…………………8分

（3）在
中，作
,由（2）知：

,

在
,则
就是二面角
的平面角，在
中，
,
，所以，

,

而所求二面角
是二面角
的补角

故：二面角
的平面角的正切值为
。 …………………13分

20.解析：（Ⅰ）

这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………………4分

（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则

事件B “至少一个路段严重拥堵”，则

所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是
…………………………8分

（III）分布列如下表：

20

30

36

42

60





0

0.1

0.44

0.36

0.1





此人经过该路段所用时间的数学期望是
分钟．……………………………13分

21（1）命题“对任意的
（
为自然对数的底数）都有
成立”等价于“当
时，
”。

由
知
在
上递增，所以

【解法一】:

等价于

而
在
上恒成立，所以
……………4分

【解法二】: 由
得
，又

可知
在
上递减，在
上递增。

当
时，
，由
，得
，即
，矛盾；

当
时，
，由
，得
，即
，所以
；

当