合肥一六八中学2013届最后一卷

（理科数学）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的）.

1.复数
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.已知集合
，则

（ ）

A．
B.
C.
D.

3. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A.
B.
C.1 D.2

4.以双曲线
的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）

A．
B.

C.
D.

5.定义在R上的函数
满足：
，当

时，
，则
的值是（ ）

A．
B. 0 C. 1 D. 2

6.如图所示是求样本
的平均数
的程序框图，图中的空白框中应填入的内容为（ ）

A．
B.

C.
D.

7.已知
中，角
的对边是
，且
成等比数列，则函数

的取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

8．称
为两个向量
间的距离。若
满足：①
②
； ③对任意的
恒有
，则 （ ）

A.
B.
C.
D.

9. 设
，
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A.若
，
，则
，
，

B.若
，
则
∥
，
∥
，

C.若
∥
，
∥
，
，则
，

D.若
∥
，
与
所成的角与
与
所成的角相等，则
∥

10.一个含有10项的数列
满足：
，则符合这样条件的数列
有（ ）个。

A．30 B. 35 C. 36 D. 40

二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分）

11. 已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
____________.

12.圆
与直线
的位置关系是__________.

13.已知在
的展开式中，第6项为常数项，则

14.已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是_________.

15.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下五个命题：

①2013∈[3]; ②-3 ∈ [3];

③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4];

④“整数a，b属于同一‘类”的充要条件是“a-b∈[0]”

⑤整数c∈[k]( k=0，1，2，3，4),则整数c+2013∈[k+3]

其中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）

三．解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．（本题满分12分）已知函数
的任意两条对称轴之间距离的最小值为
，图像过点（0，
）。

（1）求
的解析式及单调减区间；

（2）若
是第二象限角，且
，求
的值。

17．（本题满分12分）如图，在三棱锥
中，

，
，

设顶点
在底面
上的射影为
．

（1）求证:
；

（2）设点
在棱
上，且
，

试求二面角
的余弦值．

18.（本题满分12分）某寝室的5位同学为了缓解学习压力，放松心情，举办了主题为“中国梦，我的梦”的畅想活动。活动规则为：每位同学在相同的卡片上写上自己的祝福语和梦想，然后把5张卡片集中起来放在一个盒子中，每位同学从中随机抽取一张卡片。

（1）求甲抽到乙所写的卡片，乙抽到甲所写的卡片概率；

（2）设随机变量
为5位同学中抽到的卡片为自己所写的卡片的人数，求
的分布列与均值（不要求写出计算过程）。

19．（本小题满分13分）

如图，
是抛物线为
上的一点，以S为圆心，r为半径（
）做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点。

（1）求证：直线CD的斜率为定值；

（2）延长DC交x轴负半轴于点E，若EC : ED = 1 : 3，求
的值。

20（本题满分13分）数列
满足
，

求数列
的通项；

求证：
；

求证：

21.（本题满分13分） 已知函数
＝

。

（1）求
的单调区间；

（2）若
≥
在[1，＋∞
上恒成立，求实数
的取值范围；

（3）证明：

合肥一六八中学2013届最后一卷（理科数学）答案

1. 解：
，选D

2. 解：
，选C

3. 解：由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱
（如下图所示），其高为
，底面
满足：
.

故该几何体的体积为
.故选
.

4. 解：右焦点即圆心为
，渐近线方程
，
为半径，选B

5. 解：由题意得：
，所以
是以2为周期的周期函数，
，选C

6. 解：由于
，所以
，选A

7. 解：由余弦定理得：
，

所以：

8. 解：考察向量减法的三角法则，以及向量模的几何意义。

对任意的
恒有
，表明
是所有
中最短的一个，而垂线段最短，故有
，选B

9. 利用线面平行、垂直的判定定理，可得C项正确，选C

10. 在网格中，由（1,0）点走9步到达（10,5）点，每步需向右移1个单位，同时向上（下）移1个单位，故其中有且只有2步向下移1个单位，不同的走法有
，选C

11. 画出密度函数图象，对称轴为x=3,所以
，填0.1587

12．解：化为直角坐标方程得：圆方程为
，直线方程为
，圆心到直线的距离
，填相离

13.
为常数项，所以n=10,填10

14．令
，画出可行域得
，填

15. 根据类的定义判断真命题是①③④，填①③④

16. 解：（1）由题意得：
，-------------------------2分

图像过点（0，
），所以
，----4分

所以
--------------------------------5分

（2）
，又
是第二象限角

所以
-------------------10分

所以
---------------------------12分

17. 解：（1）由
平面
得

，

又

，则
平面
，

故
，…………………………………………2分

同理可得
，则
为矩形，又
，

则
为正方形，故
．…………………5分

（2） 由（1）的证明过程知
为正方形，如图建立坐

标系，则
，

可得
，…………………………………………8分

则
，易知平面

的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为

，则由
得
，…………10分

则
，即二面角
的余弦值为
．………………12分

18. 解：设事件“甲抽到乙所写的卡片，乙抽到甲所写的卡片”为A，

则
--------------------------------5分

（2）随机变量
的取值为0,1,2,3,5，分布列：

0

1

2

3

5

















------------------------------------------------------------------------10分

-------------12分

19. 解． （1）将点（1，1）代入
，得

抛物线方程为
---- 1分

设
，

与抛物线方程
联立得：
---- 2分

----- 3分

由题意有
，

-----4分

为定值 -----6分

（2）设

及

，
------ 8分

----9分

同理
----11分

---------13分

20. 解：（1）

--------------------------------------------------------2分

故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列。

所以

---------------------------------4分

（2）
--------------------5分

，

。-----------------------------------------------8分

（3）

，

所以函数
在
上是增函数，
，即
在
上恒成立。-------------------------------------------------10分

要证不等式等价于
，

当
时，
成立；

当
时，
。

利用不等式
，所以

，

因此
。

综上可得 对任意正整数
成立。--------------------------13分

21. 解：（1）
的定义域为
，

，-----------------------------1分

当
时，
恒成立，此时，
在
上是增函数；-----2分

当
时，令
得
，

列表如下：















_

_







增

减

减

增



此时，
的递增区间是
，
；递减区间是
，
。-------4分

（2）
＝
＋
，

则g（1）=0，g’（x）= a－
－
=
=
-----6分

1）当0

若1