合肥一六八中学2013届高考最后一卷（文科数学）

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知i是虚数单位，复数
的虚部是　　

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设
为两个非零向量，则“
”是“
与
共线”的

（A）充分而不必要条件 　（B）必要而不充分条件

（C）充要条件 　（D）既不充分也不必要条件

3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何

体的体积是

（A）
（B）

（C）
（D）

4．设函数
Ｒ）满足
，则
的值是

（A）3 （B）2 　（C）1 　（D）0

5．执行如图所示的程序框图，那么输出的
为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

6.已知各项为正数的等差数列
的前20项和为100，

那么
的最大值为

(A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在

7.抛物线
上的点到直线
距离的最小值是

(A)
(B)
(C)
(D)

8．已知函数
是定义在
上的单调增函数且为奇函数，数列
是等差数列，
，则
的值

(A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为0 (D)可正可负

9.在平面直角坐标系中，不等式
（
为常数）表示的平面区域的面积为8，则
的最小值为

(A)
(B)
(C)
(D)

10.若三棱锥
的底面是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题部分　共100分)

二、 填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分．

11．如图是某学校抽取的n名学生体重的频率分布直方

图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为

，第3小组的频数为18，则的值n是

12．设二次函数
的值域为
，

则
的最小值为

13．设正整数
满足
，则
恰好使曲线方程
表示焦点在
轴上的椭圆的概率是

14．设
分别是双曲线
的左、右焦点，
为双曲线上一点，且
，
, 则该双曲线的离心率
的值是

15．给出下列四个命题：

①

②
，使得
成立；

③若函数f(x)=xsinx，则对任意实数
恒成立

④在
中，若
，则
是锐角三角形，

写出所有正确命题的序号

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）在
中
分别为
,
,
所对的边，
且

（1）判断
的形状；

（2）若

，求
的取值范围

17．（本小题满分12分）

就餐时吃光盘子里的东西或打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”.某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区
岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查.得到如下统计表：

组数

分组

频数

频率

光盘占本组的比例



第一组



50

0.05

30%



第二组



100

0.1

30%



第三组



150

0.15

40%



第四组



200

0.2

50%



第五组



a

b

65%



第六组



200

0.2

60%



（1）求a、b的值并估计本社区
岁的人群中“光盘族”人数所占的比例；

（2）从年龄段在[35,45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从8人中选取2个人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。

18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，△
是等腰直角三角形，
，侧棱
，
分别为
与
的中点，点
在平面
上的射影是
的重心

（1）求证：
平面
；

（2）求
与平面
所成角的正弦值．

19.（本小题满分13分）

设公比大于零的等比数列
的前
项和为
，且
，

，数列
的前
项和为
，满足
，
，
．

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
，若数列
是单调递减数列，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知点
是椭圆E：
（
）上一点，
、
分别是椭圆
的左、右焦点，
是坐标原点，
轴．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
、
是椭圆
上两个动点，

．求证：直线
的斜率为定值；

21．（本小题满分13分）已知函数
R．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

(2）当
时，函数
图象上的点都在不等式组
所表示的区域内，求
的取值范围．

合肥一六八中学2013届高考最后一卷（文科数学）答案

一、选择题：BACDC AAACA　　

二、 填空题：
; 8;
:
; ①②③④.

三、解答题：

16.解：（1）由题意

由正弦定理知，
在
中，

或
……………3分

当
时，

则
舍

当
时，
即
为等腰三角形。………6分

（2）在等腰三角形
，

取AC中点D，由
，得

又由，

所以，
………12分

17. 解：

1.第一组人数为50，频率为0.05，所以抽查的总人数n=
人，

第五组频率为b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.15)=0.3

第五组人数a=300人

抽取的样本中“光盘族”比例为
﹪ ……………6分

2.应用分层抽样：在
年龄段人数为150×40%=60人，在
年龄段人数为200×50%=100人，两组人数比例为3:5，抽取的8人中在
组有3人，在
有5人，抽取2人总的抽样方法为28种，概率
…12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）取
， ………………2分

由已知可得
,
, 又
,

所以四边形
为平行四边形 ………………4分

则

所以
………………6分

（2）
，

又

所以

又
所以
，

所以
……………9分

所以得

得
，所以
与平面
所成角的正弦值为
．

……………12分

19. 解：（1）由
，
得
……………3分

又
（
，

则得

所以
，当
时也满足． ………6分

（2）
，所以
，使数列
是单调递减数列，

则
对
都成立， …………8分

即
， …………10分

，

当
或
时，
所以
． ……13分

20.解：（1）∵PF1⊥x轴， ∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=
，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：
； ……5分

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由
得

（x1+1，y1-
）+（x2+1，y2-
）=
（1,-
），

所以x1+x2=
-2
，y1+y2=
（2-
）