四川省成都外国语学校2013届高三下学期高考考前模拟数学理试卷

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
=

A．
B．
C．

D．

2．下列命题中是假命题的是（　 ）

A．
函数
都不是偶函数；

B．
值域为
；

C．
使得
；

D．
使
是幂函数，且在
上递减；

3．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为

A．7 B．
C．
D．

4、有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有( )

A．10 B．48 C．60 D．80

5．已知正项数列｛
｝中，al＝1，a2＝2，2
2＝
2＋
2 (n≥2)，则a6等于

A．16 　B．8 　C．4 D．2

6．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为
的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是

A．
B．
C．
D．

7．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

A．
B．
C．
或
D．
或

8．在区间［0,1］上任意取两个实数
，则函数f(x) ＝
在区间［
1，1］上有且仅有一个零点的概率为

A．
　 B．
　 C．
　 D．

9.．设函数
，对任意
成立，则

A．
B．

C．
D．
的大小不确

10. 把“点
到图形
上每一个点的距离的最小值”称为点
到图形
的距离，那么平面内到定圆
的距离与到定点
的距离相等的点的轨迹不可能是 （ ）

A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线的一支

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．如果
，则
的最小值为 ．

12、若等式
对一切
都成立，其中
，
，
，…，
为实常数，则
＝

13．若A是不等式组
表示的平面区域，则当实数
从－2连续变化到1时，动直线
扫过A中的那部分面积为 ( )

14. 执行如右图的程序框图，若输出的
，则输入整数
的最小值是

15. 若函数
对定义域D的每一个
，都存在唯一的
，使
成立，则称
为“自倒函数”，下列命题正确的是_____

.(把你认为正确命题的序号都填上)

（1）
是自倒函数；

（2）自倒函数
的值域可以是

（3）自倒函数
可以是奇函数

（4）若
都是自倒函数，且定义域相同，则
是自倒函数

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5



x

169

178

166

175

180



y

75

80

77

76

81





（1）已知甲厂生产的产品共84件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75，该产品为优等品，

①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列及其期望．

17．（本小题满分12分）

已知函数

(Ⅰ)求
的最大值,并求取得最大值时
的取值集合;

(Ⅱ)已知
、
、
分别为
内角
、
、
的对边,且
,
,
成等比数列,角
为锐角,且
,求
的值.

18．（本小题满分12分）

各项均不为零的数列
，首项
，且对于任意
均有

（1）求数列
的通项公式；

（2）数列
的前
项和为
，求证：

19.在等腰梯形ABCD中，
，
，
，N是BC的中点．如图所示，将梯形ABCD绕AB逆时针旋转
，得到梯形
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）（理）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分13分）

已知圆
点，
在圆上，
分别为
上的点，且满足

（1）求
的轨迹
的方程；

（2）是否存在过点
的直线l与曲线
相交于A，B两点，并且与曲线
上一点Q，使得四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

。

21、（本小题满分14分）设函数
.

(1)求函数
的单调区间;

(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数
的值;

(3)若方程
有两个不相等的实数根
,求证
.

答案

1—5 C A D D C 6—10 C C D C A

11、1

12、-5

13、

14、8

15、1 3

16、解：（1）设乙厂生产的产品数量为x件，由题意得=，所以x=35。------------2分

（2）①由题意知乙厂生产的优等品的数量为
件---------------4分

②由题意知

---------------7分

所以随机变量
的分布列为

0

1

2



P









 ---------------10分

所以随机变量
的均值
=
---------------12分

17、解(Ⅰ)

故
,此时
,得
,

∴取最大值时
的取值集合为

(Ⅱ)
,
,
,
,

由
及正弦定理得
于是

18、解：（1）由

得
，则
令
，则

所以
是以3为公比，
为首项的等比数列，
6分

（2）

13分

19、（Ⅰ）证明：因为
，N是BC的中点

所以
，又

所以四边形
是平行四边形，所以

又因为等腰梯形，
，

所以
，所以四边形
是菱形，所以

所以
，即

由已知可知 平面
平面
，

因为 平面
平面

所以
平面

（Ⅱ）证明：因为
，
，

所以平面
平面
，又因为
平面
，所以
平面
…8分

（Ⅲ）因为
平面

同理
平面
，建立如图如示坐标系，设
，

则
,
,
，
，

则
，

设平面
的法向量为
，有
，
，得
…11分

因为
平面
，所以平面
平面

又
，平面
平面
，所以
平面

与
交于点O，O则为AN的中点，O

所以平面
的法向量
…12分所以

由图形可知二面角
为钝角

所以二面角
的余弦值为
．

20、

解：（1）由
知道直线
为线段
的中垂线，则
，因此
，曲线
是以
为焦点的椭圆，且
，
，

所以曲线
的方程为
………………………………6分

（2）设
，由题意知
的斜率一定不为0，故不妨设
，代入椭圆方程整理得
， ………………………………7分显然
则
①， …………………8分

假设存在点
，使得四边形
为平行四边形，其充要条件为
，则点
的坐标为
。由点
在椭圆上，即

整理得
………………………………10分

又
在椭圆上，即

故
② ………………………………11分

所以

将①②代入上式解得
………………………………12分

即直线
的方程是：
，即
………………………………13分

21．.