一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合
，则
（ ）

　Ａ．
　　　　　 Ｂ．
　　　 Ｃ．
　　　　　Ｄ．

2．设
，若
（
为虚数单位）为负实数，则
（ ）

A．2 B．1 C．0 D．

][来源:学&科&网]

3.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ）

A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ex D．f(x)＝sinx

4.若
,则“关于
的方程
无实根”是“
(其中
表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的 ( )

.充分非必要条件.
.必要非充分条件.

.充要条件.
.既非充分又非必要条件.

5. 如某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（ ）

A、
B、

C、
D、

6. 设连接双曲线
与
的四个顶点组成的四边形的面积为S1，连接其四个焦点组成的四边形的面积为S2，则S1(S2的最大值是 ( )

(A)
(B)
(C)1 (D)2

7．设a，b，c是空间三条直线，
，

是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )

A．
当c⊥
时，若c⊥
，则
∥
　　

B．当
时，若b⊥
，则

C．当
，且c是a在
内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当
，且
时，若c∥
，则b∥c

8. 点P是双曲线
2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1、F
2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知以
为周期定义域为R的函数
其中
,若方程
恰有5个实数解,则
的取值范围为 ( )

A.
B.
C.
D.
.

10.
为奇函数，
则
=（ ）

A．2014 B．2013 C．4026 D．4028

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是____,_____,_______.

12．某人从分别标有
1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张,并按如下约定记录抽取结果:如果出现两个偶数或两个奇数,就将两数相加的和记录下来;如果出现一奇一偶,则记下它们的差的绝对值,则出现记录结果不大于3的概率为____________.

13. 某同学为了研究函数
的性质,构造了如图所示的两个边长为
的正方形
和
,点
是边
上的一个动点,设
,则
.那么,可推知方程
解的个数是_________个

14．若圆
的半径为3,单位向量
所在的直线与圆相切于定点
,点
是圆上的动点,则
的最大值为___________

15.设

,称
为整数的
为“希望数”,则在
内所有“希望数”的个数为_____________.

16. 已知变量
,
满足约束条件
若目标函数
仅在点
处取到最大值,则实数
的取值范围_______________.

17. .函数

满足
，
，则不等式
的解集为______..

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量
=（1，
cos
），
=（2sin
， 1-cos2A），且
∥
.

(1)若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值；

(2)若a=
，求△ABC面积的最大值，以及面积最大时边b，c的大小.

19．设数列
为等差数列，
为单
调递增的等比数列，且
，
，
．

（1）求
的值及数列
，
的通项；

（2）若
，求数列
的前
项和
．

20. 如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥
，M，

N分别是线段
，
上的动点，且满足：

．

(1) 求证：
∥平面
；

(2) 求( 的值，使得平面ABC与平面MNC

所成的锐二面角的大小为45(.

21．设函数

(1)当a=1时，求曲线
在点
处的切线方程；

(2)若函数
在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

(3)设函数
，若在[l，e]上至少存在一组
使
成立，求实数a的取值范围.

22已知直线
过抛物线

的焦点
；

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）直线
与
交于
两点，以
为切点分别作
的切线，两切线交于点
.

①求证：
；

②若直线
与
交于
两点，求四边形
面积的最大值.

2013届绍兴一中二模试卷

数学（文科）

一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合
，则
（ B ）

　Ａ．
　　　　　 Ｂ．
　　　 Ｃ．
　　　　　Ｄ．
[来源:学,科,网]

2．设
，若
（
为虚数单位）为负实数，则
（ D ）

A．2 B．1 C．0 D．

3.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数
，则可以输
出的函数是（ D ）

A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ex D．f(x)＝sinx

[解析] 由程序框图可知输出的函数为奇函数且有零点，只有f(x)＝si
nx满足．

4.若
,则“关于
的方程
无实根”是“
(其中
表示虚数单位)在复平
面上对应的点位于第四象限”的 ( B )

.充分非必要条件.
.必要非充分条件.

.充要条件.
.既非充分又非必要条件.

5. 如某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部
分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（ A ）

A、
B、

C、
D、

6. 设连接双曲线
与
的四个顶点组成的四边形的面积为S1，连接其四个焦点组成的四边形的面积为S2，则S1(S2的最大值是 ( B )

(A)
(B)
(C)1 (D)2

7．设a，b，c是空间三条直线，
，
是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( B )

A．当c⊥
时，若c⊥
，则
∥
　　

B．当
时，若b⊥
，则

C．当
，且c是a在
内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当
，且
时，若c∥
，则b∥c

8. 点P是双曲线
2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为 （ A ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知以
为周期定义域为R的函数
其中
,若方程
恰有5个实数解,则
的取值范围为 ( C )

A.
B.
C.
D.
.

10.
为奇函数，
则
=（
B ）

A．2014 B．2013 C．4026 D．4028

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是____,_____,_______.46,45,56[来

12．某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张,并按如下约定记录抽取结果:如果出现两个偶数或两个奇数,就将两数相加的和记录下来;如果出现一奇一偶,则记下它们的差的绝对值,则出现记录结果不大于3的概率为____
________.

13. 某同学为了研究函数
的性质,构造了如图所示的两个边长为
的正方形
和
,点
是边
上的一个动点,设
,则
.那么,可推知方程
解的个数是____2______个

14．若圆
的半径为3,单位向量
所在的直线与圆相切于定点
,点
是圆上的动点,则
的最大值为____3_______

15．设

,称
为整数的
为“希望数”,则在
内所有“希望数”的个数为___9__________.（
）

16. 已知变量
,
满足约束条件
若目标函数
仅在点
处取到最大值,则实数
的取值范围______
_________.

17. .函数

满足
，
，则不等式
的解集为______.

【解析】利用换元法，将
换元成
，则原式化为
，

当
时，
，且
，又由
，

可知当
时，
；当
时，
.

故
的解集为
，即
，因此
.

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量
=（1，
cos
），
=（2sin
， 1-cos2A），且
∥
.

(1)若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值；

(2)若a=
，求△ABC面积的最大值，以及面积最大时边b，c的大小.

解：（Ⅰ）由
得
，所以
……2分

又角
为锐角，
……4分

而
可变形为
……5分

即

……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，又
……7分

即
……9分[来源:学科网]

故
……11分

当且仅当
时
的面积有最大值

……14分

20. 如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥
，M，

N分别是线段
，
上的动点，且满足：

．

(1) 求证：
∥平面
；

(2) 求( 的值，使得平面ABC与平面MNC

所成的锐二面角的大小为45(.

方法一： (Ⅰ) 证明：由
，得MN∥P
E，

又依题意PE∥BC，所以MN∥BC．

因为
平面
，
平面
，

所以
//平面
． …………6分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C、B、M、N

共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N—CB—A．

因为平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩ 平面ABC = AC，且CB⊥AC，所

以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知
为二面角N—CB—A的平面角……10分

所以
．在△NCA中运用正弦定理得，

．

所以，
． ……14分

方法二：

(1) 证明：如图以点C为原点建立 空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA ＝1，CB＝t（t >0），
，则
，
，
，

，
．由
，得

，
，
．

=(0，0，1) 是平面
的一个法向量，且

，故

．

又因为MN
平面ABC，即知MN∥平面ABC． [来源:Z_xx_k.Com]

(2) 解：
，
，设平面CMN的法向量
，则
，
，可取
，

又
=(0，0，1) 是平面
的一个法向量．

由
，以及
可得

，即
．解得
（将
舍去），故
．

21．设函数

(1)当a=1时，求曲线
在点
处的切线方程；

(2)若函数
在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

(3)设函数
，若在[l，e]上至少存在一组
使
成立，求实数a的取值范围.

解：（1）切线为
……3分

（2）
，由题意若函数
在其定义域内为增函数，[来源:学。科。网Z。X。X。K]

在（0，+∞）上恒成立，即

，
，
，
，
……8分

（3）在[1，e]上至少存在一组
使
成立；

则
， ……9分

在[1，e]上递减，

，
，令

当
时，
在
上递增，

，
，

当
时

时
在
上递增，
，
，不合题意。

当
时，
，

，
，
在
上递减，

当
时，
，在
上递减，

时，
，不合题意。

综上：
……15分

22已知直线

过抛物线

的焦点
；

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）直线
与
交于
两点，以
为切点分别作
的切线，两切线交于点
.

①求证：
；

②若直线
与
交于
两点，求四边形
面积的最大值.

（Ⅰ）
过点F（0，1）

…………3分

时，显然

当
时，
，从而
…………9分