数学（理）试卷

选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）

1. 定义
，已知
。则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知
，为虚数单位，且
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3. 设
是等差数列
的前
项和，若
，则
等于 （ ）A.
B.
C.
D.

4．已知
是实数，则“
且
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设函数
，其中
，
，则
的展开式

中
的系数为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6. 过原点的直线与圆
有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ( )

A．
B.

C.
D.

8. 执行如图的程序框图，若输出的
，则输入整数
的最小值是 ( )

A. 15 B. 14 C. 7 D. 8

9．已知
，且
，

则下列不等式一定成立的是（ ）

A.
B.

C.
D.

10．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，

乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（　 ）

A．80 B．120 C．140 D．180

11. 中心在原点，焦点在
轴上的双曲线
的离心率为
，直线与双曲线
交于
两点，线段
中点
在第一象限，并且在抛物线
上，且
到抛物线焦点

的距离为
，则直线的斜率为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知向量
,
,
满足
,
,
.若对每一确定的
,
的

最大值和最小值分别为
，则对任意
，
的最小值是 ( )

A.
B．
C．
D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数
的图象与函数
的图象的公共点个数

是 个。

14．已知
满足约束条件
，且
恒成立，则
的取值范围为 。

15. 已知数列
的首项
，且对任意的
都有
，

则
。

16. 下列说法正确的是 。

（1）从匀速传递的产品生产流水线上，质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行检测，

这样的抽样方法为分层抽样；

（2）两个随机变量相关性越强，相关系数
的绝对值越接近1，若
或
时，

则
与
的关系完全对应（即有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上；

（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；

（4）对于回归直线方程
，当
每增加一个单位时，
平均增加12个单位；

（5）已知随机变量
服从正态分布

，若
，则
。

三、解答题（本题共6小题， 17-21题每题12分，选做题10分，共70分）

17.（本小题共12分）

在
中，角
所对的边分别为
，若
。

（1）求证
；

（2）若
的平分线交
于
，且
，求
的值。

18.（本小题共12分）

哈尔滨市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，

规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，

得到如下的
列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀

的概率为
。

优秀

非优秀

合计



甲班

10







乙班



30





 合计





110



 （1）请完成上面的列联表；

（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进

行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽

到9号或10号的概率。

参考公式与临界值表：
。

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





19.（本小题共12分）

如图，在四棱锥
中，顶点
在底面
内的射影恰好落在
的中点
上，

又
，
且

（1）求证：
；

（2）若
，求直线
与
所成角的余弦值；

（3）若平面
与平面
所成的角为
，求
的值。

20.（本小题共12分）

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为
，点
是点
关于
轴的对称点，

过点
的直线交抛物线于
两点。

（1）试问在
轴上是否存在不同于点
的一点
，使得
与
轴所在的直线所成

的锐角相等，若存在，求出定点
的坐标，若不存在说明理由。

（2）若
的面积为
，求向量
的夹角；

21. （本小题共12分）

设函数

。

（1）求函数
的最小值；

（2）设

，讨论函数
的单调性；

（3）斜率为
的直线与曲线
交于
,

两点，

求证：
。

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22. 如图所示，已知
是圆
的直径，
是弦，
，垂足为
，

平分
。

（1）求证：直线
与圆
的相切；

（2）求证：
。

23.在平面直角坐标系
中，曲线
为
为参数）。在以
为原点，

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
，射线为
，

与
的交点为
，与
除极点外的一个交点为
。当
时，
。

（1）求
，
的直角坐标方程；

（2）设
与
轴正半轴交点为
，当
时，设直线
与曲线
的另一个交点

为
，求
。

24． 已知函数
。

（1）若
的解集为
，求实数
的值。

（2）当
且
时，解关于
的不等式

数学（理）答案

一．选择题：BCDAD CACDA DB

二．填空题：2个
2 （2）（3）（5）

17解：（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，

∴sin（A+B）=sinB， --------3分

即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B． --------------6分

（2）△BCD中，用正弦定理可得
=
，由第一问知道C=B，

而BD是角平分线，∴
=2cos． ---------8分

由于三角形内角和为180°，设 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，

故α+=45°．--9分

∵sin=，∴cos=，

∴cosα=cos（45°﹣）=cos45°cos+sin45°sin=
．

∴
=2cos=2cosα=
．---------------12分

18.（1） -------4分

优秀

非优秀

合计



甲班

10

50

60



乙班

20

30

50



合计

30

80

110





（2）根据列联表中的数据，得到K2= ≈7.487＜10.828．因此按99.9%的

可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” -------8分（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=
，即抽到9号或10号的概率为
． -------12分

19 解：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz（如图）．

（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（﹣a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（﹣a，2a，0）．

∴
=（2a，a，0），
=（﹣a，2a，﹣h），

于是
?
=﹣2a2+2a2=0，∴PD⊥AC；--------4分

（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），——5分

∵
=（2a，0，0），
=（﹣a，2a，﹣a），

∴
?
=﹣2a2，cos＜
，
＞=
=
，

∴直线PD与AB所成的角的余弦值为
；-----------8分

（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），

设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），

由
=（a，a，﹣h），
=（﹣a，2a，﹣h），

∴
，解得n=（1，2，
），∴m?n=2，

cos＜m，n＞=
，∵二面角为60°，∴
=4，

解得=
，即
=
．----------------12分

20.（1）由题意知：抛物线方程为：
且
-------1分

设

设直线
代入
得

-------- 2分

假设存在
满足题意，则

----- ------5分

存在T（1,0）----------------6分

（2）（法一）

----------------7分

设直线OA,OB的倾斜角分别为

，
--------9分

设

------11分

----------------------12分

法二：

-----------------------7分

---------9分