四川省成都外国语学校2013届高三下学期高考考前模拟数学文试卷

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
=

A．
B．
C．

D．

2．下列命题中是假命题的是（　 ）

A．
函数
都不是偶函数；

B．
值域为
；

C．
使得
；

D．
使
是幂函数，且在
上递减；

3．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为

A．7 B．
C．
D．

4．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为B

A．7 B．8 C．9 D．10

5．已知正项数列｛
｝中，al＝1，a2＝2，2
2＝
2＋
2 (n≥2)，则a6等于 A．16 　B．8 　C．4 D．2

6．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为
的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是

A．
B．
C．
D．

7．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

A．
B．
C．
或
D．
或

8．在区间［0,1］上任意取两个实数
，则函数f(x) ＝
在区间［
1，1］上有且仅有一个零点的概率为

A．
　 B．
　 C．
　 D．

9.．设函数
，对任意
成立，则

A．
B．

C．
D．
的大小不确

构造函数

10. 把“点
到图形
上每一个点的距离的最小值”称为点
到图形
的距离，那么平面内到定圆
的距离与到定点
的距离相等的点的轨迹不可能是

A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线的一支

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．如果
，则
的最小值为 ．

12．已知函数f(x)=则使f[f(x)]=2成立的实数x的集合为________.

13．若A是不等式组
表示的平面区域，则当实数
从－2连续变化到1时，动直线
扫过A中的那部分面积为( )

14. 执行如右图的程序框图，若输出的
，则输入整数
的最小值是 8

15. 若函数
对定义域D的每一个
，

都存在唯一的
，使
成立，则称
为“自倒函数”，下列命题正确的是____

.(把你认为正确命题的序号都填上)

（1）
是自倒函数；

（2）自倒函数
的值域可以是

（3）自倒函数
可以是奇函数

（4）若
都是自倒函数，且定义域相同，则
是自倒函数

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分12分)

某班
名学生在一次百米测试中，成绩全部介于
秒与
秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
，…，第五组
，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）若成绩大于或等于
秒且小于
秒认为良好，

求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个

成绩的差的绝对值大于1的概率.

17．（本小题满分12分）

已知函数

(Ⅰ)求
的最大值,并求取得最大值时
的取值集合;

(Ⅱ)已知
、
、
分别为
内角
、
、
的对边,且
,
,
成等比数列,角
为锐角,且
,求
的值.

18．（本小题满分12分）

各项均不为零的数列
，首项
，且对于任意
均有

（1）求数列
的通项公式；

（2）数列
的前
项和为
，求证：

19. （本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，
，
，
，N是BC的中点．如图所示，将梯形ABCD绕AB逆时针旋转
，得到梯形
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）（理）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分13分）

已知圆
点，
在圆上，
分别为
上的点，且满足

（1）求
的轨迹
的方程；

（2）是否存在过点
的直线l与曲线
相交于A，B两点，并且与曲线
上一点Q，使得四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

21。（本小题满分14分）设
，函数f (x)＝lnx－ax，g（x）＝
＋x＋1

（I）若曲线y＝g（x）的切线l过点A（0，
），求切线l的方程；

（II）讨论函数h（x）＝2f（x）＋g（x）－
的单调性；

（III)若
是函数f（x）的两个相异零点，求证：
（e为自然对数底数）。

答 案

1—5 C A D B C 6—10 C C D C A

11、1

12、{x|0(x(1,或x=2}

13、

14、8

15、1 3

16、解：（1）由频率分布直方图知，成绩在
内的人数为：
（人）… 3分

所以该班成绩良好的人数为
人. ……………………… 5分

（2）由频率分布直方图知，成绩在
的人数为
人，设为
、
；… 6分

成绩在
的人数为
人，设为
、
、
、
…… 7分

若
时，有
种情况； ……………………… 8分

若
时，有

种情况； …………… 9分

若
分别在
和
内时，

A

B

C

D



x

xA

xB

xC

xD



y

yA

yB

yC

yD



共有
种情况. ……………………… 10分

所以基本事件总数为
种，事件“
”所包含的基本事件个数有
种.

∴
（
）
. ……………………… 12

17、解(Ⅰ)

故
,此时
,得
,

∴取最大值时
的取值集合为

(Ⅱ)
,
,
,
,

由
及正弦定理得
于是

18、

解：（1）由

得
，则
令
，则

所以
是以3为公比，
为首项的等比数列，
6分

（2）

13分

19、（Ⅰ）证明：因为
，N是BC的中点

所以
，又

所以四边形
是平行四边形，所以

又因为等腰梯形，
，

所以
，所以四边形
是菱形，所以

所以
，即

由已知可知 平面
平面
，

因为 平面
平面

所以
平面

（Ⅱ）证明：因为
，
，

所以平面
平面
，又因为
平面
，所以
平面
…8分

（Ⅲ）因为
平面

同理
平面
，建立如图如示坐标系，设
，

则
,
,
，
，

则
，

设平面
的法向量为
，有
，
，得
…11分

因为
平面
，所以平面
平面

又
，平面
平面
，所以
平面

与
交于点O，O则为AN的中点，O

所以平面
的法向量
…12分所以

由图形可知二面角
为钝角

所以二面角
的余弦值为
．

20、解：（1）由
知道直线
为线段
的中垂线，则
，因此
，曲线
是以
为焦点的椭圆，且
，
，

所以曲线
的方程为
………………………………6分

（2）设
，由题意知
的斜率一定不为0，故不妨设
，代入椭圆方程整理得
， ………………………………7分显然
则
①， …………………8分

假设存在点
，使得四边形
为平行四边形，其充要条件为
，则点
的坐标为
。由点
在椭圆上，即

整理得
………………………………10分

又
在椭圆上，即

故
② ………………………………11分

所以

将①②代入上式解得
………………………………12分

即直线
的方程是：
，即
………………………………13分

21