秘密★启用前

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一．选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.

1.复数
等于( )

A.
B. 0 C.
D.

2.已知集合
,集合
, 则
=( )

A.
B.
C.
D.

3.设点M是半径为R的圆周上一个定点，其中O为圆心，连接OM，在圆周上等可能地取任意一点N，连接MN，则弦MN的长超过
的概率为( )

A.
B.
C.
D.

4.执行右下方的
程序框图,若输入的
是
,则输出
的值是( )

A.6 B.24 C.60 D.120

5.某正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)的底面边长和侧棱长均为
, 体积为
. 正视图和俯视图如左上方所示. 则它的侧视图面积为( )

A. 4 　 　B.
C.2
D.

6.给出以下结论：

（1）命题P: “

”,则
是: “
”;

（2）若
的展开式中各项系数和为128, 则展开式中
项的系数是
.

（3）已知2013届重庆市“二诊”考试的数学成绩
，统计结果显示
，则
;

其中结论正确的个数为( )[来源:学&科&网]

A.3 B.2 C.1 D.0

7.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则最小1份为( )

A.
B.
C.
D.

8.某地为“我的中国梦”主题歌咏比赛,特组织了3支青年队,2支中年队,1支
老年队参数.
现将这6支队伍排成一个节目单,要求同年
龄段的队伍不相邻,则不同的排法有( )种.

A.48 B.60 C.120 D.320

9.正整数
满足
,且

,则
最大可取( ).

A.17 B.18 C.19 D.20

10.已知函数
，则函数
的零点个数是( )

A.4
B.3 C. 2 D.1

二．填空题：其中11~13小题为必做题，14~16小题为选做题，每小题5分，满分25分.

（一）必做题

11. 某产品的广告费用
(万元)与销售额
(万元)的统计数据如下表：

0

2

4

6





10

20

30

40



根据上表中的数据用最小二乘法求得回归方程
，则由此可算得
.

12. 在
中，角
、
、
所对的边是
、
、
，
. 若
，
且

，则
.

13. 已知直线
和
,椭圆
上的动点P到
和
的距离分别为
, 则
的最小值是 .

（二）选做题（考生任选两题作答，若三题都做，则按前面两题给分）

14. 如右图,
与圆
相切于点
, 割线
经过圆心
,

, 则线段
的长为 .

15. 直线

与圆
(
为参数)相交于
、
两点.

现取与直角坐标系
相同的单位长度, 且以原点O为极点, 以
轴的正半轴为极轴建立极坐标. 若弦
的中点极坐标是
, 则直线
的倾斜角为 ．

16. 若关于
的不等式
有实数解,则
的取值范围是 .

三、解答题: 本大题共6小题，满分75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分13分）

已知
的图像在
处的切线与
轴垂直.

(1)求实数
的值; (2)求
的极值.

18.（本小题满分13分）

已知函数

(1)设方程
在(0，
)内有两个零点
，求
的值；

(2)若把函数
的图像向左移动

个单位，再向下平移2个单位，使所得函

数的图象关于
轴对称，求
的最小值。[来源:Z#xx#k.Com]

19.（本小题满分13分）

某产品按行业标准分成8个等级，等级系数
依次为1、2、…、8.规定
≥5为标准
，

≥3为标准
.已知甲厂执行标准
生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准
[来源:Z.xx.k.Com]

生产该产品，产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合各自的执行标准.

(1)已知甲厂产品的等级系数
的概率分布列如下所示：[来源:学科网]

5

6

7

8






0.4





0.1



且
的数学期望
=6，求
的值；

(2)为分析乙厂产品的等级系数
，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系

数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求
的概率分布列和数学期望．

(3)在(1)、
(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？

(注:(1)
产品的“性价比”=
；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．)

20.（本小题满分12分）

如图1,四棱锥
中,
底面
, 面
是

直角梯形,
,
,
为侧棱
上一点. 该四棱锥

的俯视图和侧(左)视图如图2所示．

(1)求点C到
面
的距离；

(2)线段
上是否存在点
,使
与
所成角的

余弦值为
？若存在, 找到所有符合要求的点
,并求[来源:Z&xx&k.Com]

的长; 若不存在,说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
和抛物线
的焦点均在
轴上，
的中心和
的顶点均为坐标原点O. 从每

条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

0





4







1/16



1



(1)分别求出
的标准方程；

(2)设斜率不为
的动直线
与
有且只有一个公共点
且与
的准线相交
于点

试探究：在坐标平面内是否存在定点
使得以
为直径的圆恒过点
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

22. （本小题满分12分）

设实常数
,实数列
满足下列两个条件:

①对所有
,都有
; ②对所有
,都有
.

求证： (1)当
时,
;

(2)存在一个实常数
,对所有
,都有
.

命题:王 明