一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部记作Im(z)＝b，则Im()＝

A －　　　　　 B. C．－ D．.

2. 已知锐角A，B满足
,则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

3.已知等比数列
的前
项和为
，且满足
，则公比
=

A.
B.
C. 2 D.

4.执行右边的框图，若输出的结果为
，则输入的实数
的值是

A．
B．
C．
D．

5. 已知两双曲线

、双曲线

的渐近线将第一象限三等分，

则双曲线
的离心率为

A. 2或
B.
或
C. 2或
D.
或

6. 已知数列﹛
﹜为等差数列，且
，则
的值为

A．

B．
C．
D．
[来源:学|科|网Z|X|X|K]

7.如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED
是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是

A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上[来源:Z+xx+k.Com]

B．恒有平面A′GF⊥平面BCED

C．三棱锥A′—FED的体积有最大值

D．异面直线A′E与BD不可能垂直

8．下列函数中，在
上有零点的函数是

A．
B．

C．
D．

9．若数列
满足规律：
，则称数列
为余弦数列，现将1，2，3，4，5排列成一个余弦数列的排法种数为

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

10．对于定义域为[0,1]的函数
，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的
，总有

②

③若
，
，都有
成立；

则称函数
为理想函数.

下
面有三个命题：

若函数
为理想函数，则
；

函数
是理想函数；

若函数
是理想函数，假定存在
，使得
，且
，

则
；

其中正确的命题个数有（ ）

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．设单位向量
.

12．函数
的图像和其在点
处的切线与
轴所围成区域的面积为________.

13．设
，
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为6，则
______.

14．如图，已知球
是棱长为1的正方体

的内切球，则以
为顶点，以球被平面
截得的圆为

底面的圆锥的全面积为 。[来源:Zxxk.Com]

15. “无字证明”(proofs without w
ords), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变
换公式:___ ______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16
. （本小题满分13分）

在
中，
的对边分别是
，已知
.

（1）求
的值；（2）若
，求边
的值．

17.（本小题满分13分）

如图，平面四边形
的四个顶点都在球
的表面上，
为球
的直径，
为球面上一点，且
平面
，
，点
为
的中点.

(1) 证明：平面
平面
；

(2) 求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

18．（本小题满分13分）已知椭圆
：
的左焦
点为
，右焦点为

（1）设直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直
于点P，线段
的垂直平分线交
于点M，求点M的轨迹
的方程；

、（2）设O为坐标原点，取
上不同于O的点
，
以OS为直径作圆与
相交另外一点R, 求该圆的面积最小时点S的坐标.

19．（本小题满分13分）四枚不同的金属纪念币
，投掷时，
两枚正面向上的概率均为
，另两枚
（质地不均匀）正面向上的概率均为
（
）.将这四枚纪
念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数.

（Ⅰ）求ξ的分布列（用
表示）；

（Ⅱ）若只有一枚正面向上对应的概率最大，求
的取值范围.

20．（本小题满分14分）已知函数 ．

（1）若
对于定义域内的任意
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）设
有两个极值点
，
，
且
，

证明：

；

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题
7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知
为矩阵

属于特征值
的一个特征向量．

(Ⅰ) 求实数
的值； （Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵
．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

已知圆方程为
。

①．求圆心轨迹的参数方程C；

②．点
是（1）中曲线C上的动点，求
的取值范围。

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

设函数
。

①．画出函数y=f(x)的图像；

②．若不等式
，（a(0,a、b(R）恒成立，求实数x的范围。

厦门外国语学校

2013届高考理科数学模拟试卷参考答案

即
，
-----------10分

得
，
，平方得
--------------11分

由正弦定理得
-----------------------13分

17解：(1) 证明：
且
，…………2分

则
平行且等于
，即四边形
为平行四边形，所以
.

…………6分

(2) 以
为原点，
方向为
轴，以平面
内过
点且垂直于
方向为
轴 以
方向为
轴，建立如图所示坐标系.

则
，
，
，

，
，…………8分

由
，
，

可求得平面PBC的法向量为

由
，
，

可求得平面PAD的法向量为

则
，

因此平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. …………13分

18解：（1）
在线段
的垂直平分线上，∴| MP | = | M
|，…………2分

故动点M到定直线
：x =－1的距离等于它到定点
(1，0)的距离，

因此动点M的轨迹
是以
为准线，
为焦点的抛物线， …………5分

所以点M的轨迹
的方程为
…………6分

(3)解：因为以OS为直径的圆与
相交于点R，所以∠ORS = 90°，即
8分

设S(x1，y1），R(x2，y2），则
，
所以
即

∵y1≠y2，y2≠0，∴
…………10分 故
， 当且仅当
，即
时等号成立 …………12分 圆的直径
因为
，所以当
，即
时，
所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为(16，±8)． …………13分

19解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为
. …… ……………………… 1分

………………………………………………… 6分

∴ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

4

















………………………………7分

（Ⅱ）∵
∴
…………………9分

∴
，

解得
…………………………………………12分

∴
的取值范围为
. ………………………………… 13分

20．解：（Ⅰ）由题意：



，

分离参数
可得：
………………（2分）

设
，则
………………（3分）

由于函数
，
在区间
上都是增函数，所以[来源:学。科。网Z。X。X。K]

函数
在区间
上也是增函数，显然
时，该函数值为0

所以当
时，
，当
时，
Zxxk

所以函数
在
上是减函数，在
上是增函数

所以
，所以
即
………………（6分）

（Ⅱ）由题意知道：
，且

所以方程
有两个不相等的实数根
，且
，

又因为
所以
，且
…………（
8分）

而

，

设
，则

所以
，即
………………14分

21．解： (Ⅰ) 由

=

得：

……………4分

（Ⅱ）







……………7分

（2）①．将圆的方程整理得：(x-4cos
)2+(y-3sin
)2=1

设圆心坐标为P(x,y)

则
……………………………3分

②．2x+y=8cos
+3sin

=

∴ -
≤2x+y≤
……………………………7分

（3）．解：①．
……………………………3分

②．由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)

得

又因为

则有