浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学理试题

【考生须知】

1．试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷密封区内填写班级．学号，姓名．试场号．座位号。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4．考试结束，只上交答题卷。

参考公式：

如果事件
，
互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件
，
相互独立，那么 其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

棱锥的体积公式

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么

次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高

棱台的体积公式

球的表面积公式

球的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示球的半径
表示棱台的高

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设复数z的共轭复数为
，若(l-i)
=2i,则复数z=( )

A. -i B. -1 +i C. 1 D. -1-i

2．已知
，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为( )

A．
B．
C． 1 D．

4．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个

红球的概率是
，从B中摸出一个红球的概率为p．若A、B两个袋

子中的球数之比为1:2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
，则p的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

5．已知直线
和平面
，下下列命题正确的是（ ）

A．若
∥
，
，则
B．若
∥
，
∥
，则
∥

C．若
∥
，
，则
∥
D．若
⊥
，
，则

6．在等差数列{an}中，若
= 90，则
的值为( )

A.
12 : B. 14 C. 16 D. 18

7．设
关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2，
a≥2且|b| ≤4, 则下列说法正确的是( ) v

A．
是
的充要条件 B．
是
的充分不必要
条件

C．
是
的必要不充分条件 D．
是
的既不充分也不必要条件

8．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线
的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为( )

A.
B. 2 C.
D.

（ 第8题图）

9．已知函数
是定义在
上的增函数，函数
的图象关于点(1, 0)对称. 若对任意的
，不等式
恒成立，则当
＞3时，
的取值范围是( )

A. (3, 7) B. (9, 25) C. (13, 49) D. (9, 49)

10． 设
的定义域为D，若
满足下面两个条件，则称
为闭函数.①
在D内是单调函数;②存在
，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].如果
为闭函数，那么k的取值范围是( )

A.k-1 D.

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是______（单位：m2）．

正视图 侧视图 俯视图

12．若
的展开式中
的系数为
，则
的值等于 。

13．有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_________.

14．．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数

相同，平均数也相同，则图中的
＝ ▲ ．

15．某种平面分形图如下图所示一级分形图是由一点出发的三条线段，

长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段

的末端出
发再生成两条长度为原来
的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°;…；依此规律得到n级分形图.

(I)n级分形图中共有__▲___条线段;(II) ;n级分形图中所有线段长度之和为__▲__

16．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，∠ABE＝20°，

∠CDF＝30°．将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，

则在

所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为_________．[来源:Z§xx§k.Com]

17．函数
若关于
的方程

有五个不同的实数解，
则
的取值范围是________． (第16题图 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分14分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，b=1，记角A=x，a+c=f?(x)．

（Ⅰ）当x∈[
，
]时，求f?(x)的取值范围；

（Ⅱ）若
，求sin2x的值．

19．（本小题满分14分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2013年2月的某天晚上8点至11点在市区设 点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）.

（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉
酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数
的分布列和期望.

20．（本小题满分14分）

如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，

CE∥AF，
．

（Ⅰ）证明：BD⊥EF；

（Ⅱ）若AF＝1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值

为
，求
的值．

21．（本小题满分15分）

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为
，
．平面内两点
、
同时满足：①
为△ABC的重心, ②
，③
∥
．

（Ⅰ）求顶点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设
都在曲线
上 ，定点
的坐标为
，已知
∥
,

∥
且
．求四边形
面积
的最大值和最小值．

22．（本小题满分15分）

设
和
是函数
的两个极值点，其中
，

(Ⅰ) 求实数
的取值范围；

(Ⅱ) 求
的取值范围；

（Ⅲ）若
，求
的最大值．

（注：e是自然对数的底数．）

[来源:学科网ZXXK]

理数学答案及评分标准

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。

(1) D (2) A (3) C (4) B (5) D[来源:Zxxk.Com]

(6) A (7) C (8) C (9) C (10) B

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题4分, 满分28分。

(11)
(12) 2 (13) 192

(14) 9 (15) (Ⅰ)
(Ⅱ)
(16) 7
0° (17)

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

(18) （本题满分14分）。

解：（Ⅰ）由已知 A、B、C成等差数列，得2B=A+C，

∵ 在△ABC中， A+B+C=π，于是解得
，
．

∵ 在△ABC中，
，b=1，

∴

，

即
． …………………………………………………………6分

由
≤x≤
得
≤x+
≤
，于是
≤
≤2，

即f?(x)的取值范围为[
，2] ． ………………………………………………8分

（Ⅱ）∵
，即
．[来源:学科网ZXXK]

∴
． ……………………………………………………9分

若
，此时由
知x>
，这与
矛盾．

∴ x为锐角，故
． ……………………………………………………12分

∴
．……………………………………………………14分

(19)。（本题满分14）。

解: （1） (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,

所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人． ………… ……………6分

（2） 易
知利用分层抽样抽取8人中含有
醉酒驾车者为2人；

所以x的所有可能取值为0,1,2；

P(x=0)=
=
,P(X=1)=
=
,P(x=2)=
=

0

1

2













X的分布列为

………………………………12分

.………………14分

(20) 本题满分14分。

（Ⅰ）方法1：连结BD、AC，交点为Ｏ．∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ……2分

∵AF⊥平面ABCD ∴AF⊥BD ……4分

∴BD⊥平面ACEF 　……6分

∴BD⊥EF ……7分

方
法2：如图建立空间直角坐标系A－xyz，

∵
，
∴
…2分

设
，那么
， …4分

则
…5分

∴
∴BD⊥EF …7分

（Ⅱ）方法1：连结OE，由（Ⅰ）方法１知，BD⊥平面ACEF，

所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角． 　　　　 ……10分

∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF ，∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，

∵BC =1，AF＝1，则CE＝
，BE＝
，BO＝
，

∴Rt△BEO中，
， …13分

因为
，解得
．　　　　　　　　　　　 　……15分

方法2：∵
，由（Ⅰ）法
１知，BD⊥平面ACEF
，

故
是平面ACE的法向量．　 ……10分

记直线BE与面ACE所成角为
，

则
，…13分；因为
，解得
…14分

(21)(本题满分15分)。

解：（Ⅰ）设
，
G为△ABC的重心，∴G(
,
)………1分

由
知点
在
轴上，∴由③知
…………3分

由
得
，

化简整理得：

……………………………5分

（Ⅱ）
恰为
的右焦点． 设
的斜率存在且为
（
），则直线
的方程为
…………………………………6分

由
……………8分

设
，
则
,

则
·

=
·
=
…………10分

,把
换成
得
…………………11分

∴


………12分[来源:学§科§网]

∴
∵
∴

∴
， (当
时取等号) ． 又当
不存在或
时
．

综上可得
∴
，
………………………15分

(22) 本题满分15分。

22.解：(Ⅰ)函数
的定义域为
，
．

依题意，方程
有两个不等的正根
，
（其中
）．故

， …………4分

并且
．

(Ⅱ)

故
的取值范围是
． …………8分

（Ⅲ ）解:当
时，
．若设
，则

．

于是有

构造函数
（其中
），则
．

所以
在
上单调递减，
． 故
的最大值是
．
…………15分