数学（理）试卷 命题人：高三数学备课组

选择题部分 (共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．已知集合
,
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2．在等差数列
中,
,
,则
( )

A． 11 　　　 B．22 　　 C． 33 　　　　 D．44

3．若
，则
是
的（ ）

A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件

C． 充分必要条件 D． 即不充分又不必要条件

4．函数
的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,
是图象与轴的交点,记
,则
的值是( )

A．
B．
C．
D．

5．若是某已知的正整数，某程序框图如右图所

示，该程序运行后输出的数是31，则的值是

( )

A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

6．某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要

求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 （ ）

A．18种 B．36种

C．48种 D． 120种

7.右图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

8．若
三点不共线，
，
，

则
的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

9．实数
满足
，则
的取值范围是( ）

A．
B．
C．
D．

10．函数
的定义域为，数列
是公差为
的等差数列，若

，

，则（ ）．

A．恒为负数

B．恒为正数

C．当
时，恒为正数；当
时，恒为负数

D．当
时，恒为负数；当
时，恒为正数

非选择题部分 (共100分)

注意事项：

1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．复数满足
，则
___________

12. 若
的三个顶点的坐标分别是
，则
外接圆的方程是 .

13．
的展开式中
的系数为126，则实数的值为___________

14．在等比数列
中，
，公比
，若
，则
_____

15．已知函数
,则
的值是__________

16．设F1，F2 是双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P

满足
，且
，则双曲线的两条渐近线的方程分别是 _____________________

17．如图所示，在正方体
中，为
上

一点，且
，是侧面
上的动点，且

平面
，则
与平面
所成角的正切值

的取值范围是___________

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）当
的面积
时，求a的值．

19.（本小题满分14分）
是指大气中直径小于或等于
微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响。我国从
的含量对空气质量评定的标准如表1所示.某市环保部门从2012年全年每天的
监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图4所示。

(Ⅰ) 从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数
，求
的分布列和数学期望；

(Ⅱ) 以这15天的
日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.

我国空气质量表






均值（微克/立方米）




均值范围

（微克/立方米）

空气质量级别



2

3

4

6

7

8

9

5 8

1 7 3 4

4 5

8 3

7 9

3 6

2

















Ⅰ























Ⅱ





















大于75

超标









表1



图4





20.（本小题满分15分）在三棱柱
中，已 知
,
,
的中点为
,
垂直底面
.

(Ⅰ) 证明：在侧棱
上存在一点，使得
平

面
，并求出
的长；

(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值．

21．（本小题满分15分）椭圆C的两焦点坐标是
，且经过点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点N的坐标为
，若M是直线
上一动点，且与原点O不重合，过M作直线，交椭圆C于P、Q两点，且M平分线段PQ，求⊿NPQ的面积的最大值。

22．（本小题满分14分）已知
，
是
的导函数，且
.

（Ⅰ）若
不是
的极值点，求
的值.

（Ⅱ）若函数
有零点，求
的取值范围.

答案

一、ACDAB BCDBA

11．
或
12．

13．1 14． 15．
16．

所以其分布列为：



1





















(6分)

因为
平面
，

所以,
,因为
，

得
,所以
平面
，所以
，

所以
平面

又

得

(2)如图所示，分别以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系，则

由（1）可知
得点的坐标为
,

由（1）可知平面
的法向量是
,

设平面
的法向量
，由
,得

令
，得
，即
，

得：
. 则
，

（2）当
时，
，

由零点存在定理，
在
内有零点，从而在
内有零点

所以当
时，函数有零点.

的最大值为
，当
时取得.