宁波市鄞州区2013年高考适应性考试

高中数学（理科）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．

考试时间120分钟．

选择题部分（共50分）[来源:学科网ZXXK]

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，
，则
（▲ ）

A．
B．
C．
D．

2、在复平面内，复数
的对应点位于 （ ▲ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、将正方体（图（1））截去两个三棱锥，得到几何体（图（2）），则该几何体的正视图为 （ ▲ ）

图（1）
图（2）

A
B
C D

4.等差数列
为一个确定的常数，则下列各个前
项和中，也为确定的常数的是
（ ▲ ）

A．S6 B．S11 C．S12 D．S13

5．对于平面
与共面的直线m，n，下列命题为真命题的是 ( ▲ )

A．若m，n与
所成的角相等，则m//n B．若m//
，n//
，则m//n

C．若
，
，则
//
D．若m
，n//
，则m//n

6、已知在
平面内有一区域M，命题甲：点

；命题

乙：点
,如果甲是乙的必要条件，那么区域M的面积有 （ ▲ ）

A．最小值8 B．最大值8 C．最小值4 D．最大值4

7、已知双曲线的右焦点F(2,0)，设A,B为双曲线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过点F，直线AB的斜率为
，则双曲线的的离心率为( ▲ ）

A．
B．
C．4 D．2

8、 若函数

在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 （ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

9、将2个相同的
和2个相同的
共4个字母填在
的方格内，每个小方格内至多填1

个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数为 （ ▲ ）

A．196 B．197 C．198 D．199

10．函数f（x）=

sin2x在区间[-3，3]上的零点的个数为 （ ▲ ）

A．3 B．4

C．5 D．6

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．在
的展开式中，若第4项是常数项，则n＝ ▲ 　

12．已知等比数列
的前
项和为
，若
，

则
的值是 ▲ .

13、设
，其中
满足
，若
的最大值为6，则

▲ 。

14.定义：
的运算原理如图（3）所示，设

，则
在区间
上的最小值为
▲ ．

15、函数

的单调递减区间为 ▲ 。

16、设
为实数，若
，则
的最大值是 ▲ 。

17、如图(4)，已知圆
：
，
为圆
的内接正三角形，
为边
的中点，当正
绕圆心
转动，同时点
在边
上运动时，
的最大值是 ▲ 。

三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。

18、已知函数
的图象与
轴相邻两交点的距离为
。

（１）求
的值；

（２）在△ABC中，
分别是角A,B,C的对边，且
求
的取值范围。

19、某集团公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元。在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动。第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数
（
），满足
电脑显示“中奖”，且抽奖者获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖。

（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；

（2）若该集团公司望在此次活动中至少获得61875元的收益，则特等奖奖金最高可设置成多少元？

20、如图（5），已知多面体
中，
⊥平面
，
⊥平

面
，
，
，
为
的

中点．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求二面角
的大小．

21、 已知两点
及
，点
在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

（1）求椭圆
的方程；

（2）如图（6），动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，

点
是直线上的两点，且
，
．

求四边形
面积
的最大值．

22、已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的

，函数
在区间
上总不是单调函数，

求实数
的取值范围；

（3）求证

宁波市鄞州区2013年高考适应性考试

高中数学(理科)答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,满分50分，

在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

A

B

D

B

D

C

C

B





二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，满分28分.）

11. 18　　 12.
-2 13. -4 14. -6

15. 　 (
,-1)　　 16.
　 17.
　

三、解答题（本大题共5小题，满分72分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18.

解：（Ⅰ）

由题意知
.

（Ⅱ）
即
又
,

. [来源:Zxxk.Com]

[来源:学科网]

19．（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个．设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，∴P(A)=
．（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，
一个人参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a． P(ξ=-100)=
，P(ξ=900)=
，P(ξ=a)=
．∴ξ的分布列为[来源:学&科&网]

ξ

-100

900

a



P









∴
．

∴该集团公司收益的期望为
，

由题意
，解得a≤9900．

故特等奖奖金最高可设置成9900元．

[来源:Zxxk.Com]

20.

（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF
平面ACD，∴DE⊥AF．

又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，

因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.

（Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ
∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，

则F（0，0，0），C（
，0，0），A（0，0，
），B（0，1，
），E（1，2，0）．

设面ABC的法向量
，则

即
取．

又平面ACD的一个法向量为
，则
即

∴
．

∴二面角
的大小为
。

21. 解：（1）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

，
．又
，
．

椭圆
的方程
为
．

(2) 将直线的方程
代入椭圆
的方程
中，得
．

由直线与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
．

设
，
，

（法一）当
时，设直线的倾斜角为
，

则
，

，

，………11分

，
当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

所以四边形
面积
的最大值为
．

（法二）

，

．

．

四边形
的面积

，

．

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
．

22.解：1）

，

当
时，

当
时，

当
时，

2）

，

令

又
，

，

，可证
，

3）令

即

因为
。。。。①

。。。。。②

又①式中“=”仅在n=1时成立，又
，所以②“=”不成立

证毕。