茅盾中学2013届高三适应性考试

数学（理科）试题卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若P=
，Q=
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
。则该几何体

的俯视图可以是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）

A.0 B.

C.
D.

4．已知命题
，命题
，

则下列说法正确的是( )

A．p是q的充要条件

B．p是q的充分不必要条件

C．p是q的必要不充分条件

D．p是q的既不充分也不必要条件

5.由直线
上的点向圆
引切线，则切线长的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

6 已知
，则下列函数的图象错误的是

7. 假如清华大学给某市三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为（ ）

(A) 10 (B) 15 (C) 21 (D) 30

8．函数
在轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为
，则
等于（ ）

A、 B、
C、
D、

9 已知点
是
的重心，点是
内一点，若
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
　 C．
D．

10．棱长为2的正方体
在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点
到原点O的最远距离为（ ）

A．
B．
C．5 D．4

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11.
。

12．点P(x，y)在不等式组
表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2
，则k= ．

13．某校田径队有
名实力相当的短跑选手，来自高一、二、三年级的人数分别为
现从中选派人参加
米接力比赛，且所选派的人中，高一、二年级的人数之和不超过高三年级的人数，记此时选派的高三年级的人数为
则
____.

14.若动直线
与函数
和
的图像分别交于
两点，则
的最大值为 。

15．已知点P是双曲线
右支上一点，
、
分别是双曲线的左、右焦点，I为
的内心，若
成立，则双曲线的离心率

为 。

16．若
，且

是常数，则
等于 。

17．已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为，C为
中点．点D，E分别在半径OA，OB上（不含端点）．若CD2＋CE2＋DE2＝2，则OD＋OE的取值范围是 ．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）如图,A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B,P在单位圆上,且B(
,
,
(
),
.设四边形OAQP的面积为S,

(1)求
;

(2)求
=
的单调递增区间.

19．（本题满分14分）数列
的首项为，前项和是
，存在常数
使
对任意正整数都成立。

（Ⅰ）设数列
是等差数列，若
，且
，求
的值；

（Ⅱ）设
，且
对任意正整数都成立，求
的取值范围。

20． (本小题满分14分)

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
,E，F分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
，求二面角E—AF—C的余弦值.

21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C

上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交

于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB

的面积；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分15分）已知函数
，
。

（Ⅰ）对任意
，使得
是函数
在区间

上的最大值，试求最大的实数
．

（Ⅱ）若
，对于区间
上的任意两个不相等的实数
、
，且
,都有
成立，求
的取值范围．

理科数学 答案:

因
，所以
，解得
． ……………………7分

（Ⅱ）当
时，
，所以

所以
，

当
时，由

得，

, 即
…………………9分

所以
，又

即数列
是公比为
的等比数列，

所以
，即
， …………………11分

，……………………12分

当
时

且
的值随的增大而减小，即
，

所以，
，即
的取值范围是
；……………………14分

解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

所以 平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=
，AO=AE·cos30°=
,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=
,

又

在Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值为

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（
，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（
，0，0），F（
），

所以
设平面AEF的一法向量为

则
因此

距离d＝<1.

因为点M(m，n)∈C，所以＋n2＝1

∵|AB|＝2＝2，∴S△OAB＝·|AB|·d＝

＝≤＝.上式等号成立当且仅当1＝m2?m2＝∈(0,3]，

因此当m＝±，n＝±时等号成立．

所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为，，和，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.