2013年5月高三适应性五校联考数学试卷（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟，答案答在答题卡上。

参考公式

球体的面积公式 S=4πR2

球的体积公式V=
πR3其中R表示球的半径

锥体的体积公式V=
Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

柱体体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

台体的体积公式V=
其中S1，S2分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高

如果事件A,B互斥 ，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

第Ⅰ卷（选择题:共50分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．已知全集
，集合
，
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知是虚数单位，则复数
所对应的点落在 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.在
中，“
”是“
为直角三角形”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4、如图所示，程序框图输出的所有实数对
所对应的点

都在函数（ ）

A．
的图象上 B．
的图象上

C．
的图象上 D．
的图象上

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，给出下列条件，能得到
的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6、若
上是减函数，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知双曲线
的两条渐近线均与
相切，则该双曲线离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8、现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （　　）

A．232 B．252 C．472 D．484

9、已知函数
，当
时，
取得最小值
，则函数
的图象为（ ）

10．式子
满足
，则称
为轮换对称式．给出如下三个式子：①
；②
；

③

是
的内角）．

其中，为轮换对称式的个数是( )

A．
B． C． D．

非选择题部分（共100分）

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11、已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为，则该

几何体的体积为

12、已知数列
中，
，则通项公式
=

13、
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

14、函数
的导数记为
，若
的导数记为
，
的导数记为
，……..若
，则
．

15、设、满足约束条件
，若目标函数
的最大值为
，则
的最小值为 .

16、如图，在正方形
中，已知
，
为
的中点，若
为正方形内（含边界）任意一点，则
的取值范围是　 　

17、若在曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线

的“自公切线”.下列方程：①
；②
，③
；④
对应的曲线中存在“自公切线”的有　 　.

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18、(本小题14分)已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）在
中，角
所对的边分别是
若
且
，

试判断
的形状．

19、(本小题14分)某单位实行休年假制度三年来，
名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：

休假次数











人数













根据上表信息解答以下问题：

⑴从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数
,在区间
，
上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；

⑵从该单位任选两名职工，用
表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
.

20、(本小题14分)在等腰梯形
中，
，
，
，
是
的中点．将梯形
绕
旋转
，得到梯形
（如图）．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求二面角
的余弦值．

21、(本小题15分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点
.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线
交抛物线于不同

的两点
若抛物线上一点
满足
，

求
的取值范围.

22、(本小题15分)已知函数

.

(1)若
，求
的单调区间及
的最小值；

(2)若
,求
的单调区间；

(3)试比较
与
的大小
,并证明你的结论.

2013年5月高三适应五校联考数学参考答案

一、选择题

1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 6、C 7、A 8、C 9、B 10、C

二、填空题

11、
12、
13、
14、
15、 16、
17、

三、解答题

18、（Ⅰ）

周期为
……………………7分

（Ⅱ）因为

所以

因为
所以

所以
所以

整理得

所以 三角形ABC为等边三角形 ………………………14分

19、解:(１) 函数
过
点，在区间
上有且只有一个零点，则必有
即：
，解得：

所以，
或
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………3分

当
时，
，当
时，

与
为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式

所以
　　　　　　　　　　　　 …………7分

(２) 从该单位任选两名职工，用
表示这两人休年假次数之差的绝对值，则
的可能取值分别是
，　　　　　　　　　　　　

于是
，
，
，
　　 …………10分

从而
的分布列：

0

1

2

3
















的数学期望：
． 　…………14分

20、（1）证明：因为
，
是
的中点

所以
，又

所以四边形
是平行四边形，所以

又因为等腰梯形，
，

所以
，所以四边形
是菱形，所以

所以
，即

由已知可知 平面
平面
，

因为 平面
平面

所以
平面
……………………4分

（2）证明：因为
，
，

所以平面
平面

又因为
平面
,所以
平面
………………8分

（3）因为
平面
,同理
平面
，建立如图如示坐标系

设
，

则
,
,
，
，…………………9分

则
，

设平面
的法向量为
，有
，
得

设平面
的法向量为
，有

得

………………12分

所以
………………13分

由图形可知二面角
为钝角

所以二面角
的余弦值为
． …………………14分

21、 (1)
………4分

（2）由圆心
到直线
的距离

………6分

设交点
，

由

其中

………9分

代入

得

即
………13 分

，在
都是单调递减函数

………15分

22、(1) 当
时,
，

在
上是递增.

当
时,
,
.
在
上是递减.

故
时,
的增区间为
,减区间为
,
. ………4分

(2)若
,

当
时,
,
,则
在区间
上是递增的;

当
时,
,
,则
在区间
上是递减的 …………6分

若
,

当
时,
,
,
;

. 则
在
上是递增的,
在
上是递减的;

当
时,
,

在区间
上是递减的,而
在
处有意义;

则在区间
上是递增的,在区间
上是递减的 …………8分

综上: 当
时,
的递增区间是
,递减区间是
;

当
,
的递增区间是
,递减区间是