2013届江西省吉安县二中五月第三次周考理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

已知全集是
，集合
和
满足
，则下列结论中不成立的是（　　　）

A．
B．
C.

D．

设
则“
”是“复数
为纯虚数”的（　　　）

A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

右图是一个算法的流程图，最后输出的W=（　　　）

A．18 B．16 C．14 D．12

二项式
的展开式的第二项的系数为
，则
的值为（　　　）

A.
B.
C.
或
D.
或

10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是(　　　)

A. B.

C. D.

将函数
的图象F向右平移
，再向上平移3个单位，得到图象F′,若F′的一条对称轴方程是
,则
的一个可能取值是（　　　）　　

A.
B.
C.
D.

已知函数
的零点依次为a，b，c，则（　　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c

已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为
，直径为4的球的体积为
，则
（　　　）

A．
B．

C．
D．

在直角梯形ABCD中，AB//CD，
°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则
（　　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

点P在双曲线
上，
是这条双曲线的两个焦点，
，

且
的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（　　　）

A .
　　　B .
　　　 C.
　　　　D .

已知

为
的导函数，则
的图像是（　　　）

已知
符号
表示不超过
的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则
的取值范围是（ 　　 ）

A．
　　　　B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

已知点P(x，y)在不等式组
表示的平面区域内运动，则
的最小值为________

已知数列{
）满足
，则该数列的通项公式
=

在四面体
中，
，则四面体
的外接球的表面积为 。

圆
的方程为
，圆
的方程
，过
上任意一点P作圆
的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN最大值为_____________.

（本小题满分12分）为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人．

（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设
为选出的4个学生中女生的人数，求
的分布列和数学期望．

（本小题满分12分）平行四边形ABCD中，AB=2，AD=
，且
，以BD为折线，把
折起，使平面
，连AC.

（Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小；

（Ⅲ）求四面体ABCD外接球的体积.

（本小题满分12分）已知椭圆
抛物线
的焦点均在
轴上，
的中心和
的顶点均为原点
从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：























求
的标准方程；

设斜率不为
的动直线
与
有且只有一个公共点
且与
的准线相交于点
试探究：在坐标平面内是否存在定点
使得以
为直径的圆恒过点
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）已知函数
（
）.

(1)若函数
在
处取得极大值,求
的值;

(2)
时,函数
图象上的点都在
所表示的区域内,求
的取值范围;

(3)证明:
，
.

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知
切⊙
于点E，割线PBA交⊙
于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D．求证：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知圆
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）将圆
的参数方程化为普通方程，将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）圆
、
是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式
的解集非空，求实数
的取值范围.

参考答案

10.解析：不妨设点P在双曲线的左支上，设
，则

解得
，又
代入两边同除以
得

解得
，
，故选D。

、13解析：可行域是以
三点为顶点的三角形，当过点B时，
取最小值是
。

14.

15.解析：构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6，设长方体的三条边分别为
，则
，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以

16.解析：圆
的圆心的轨迹方程是
，当∠MPN取最大值时，是P点距离圆
上的点的距离最小的时候，此时
，所以

三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余每个小题12分，共70分）

17.解：（Ⅰ）

由题意可知

解得
　　　　　………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
的最大值为1，

，而

由余弦定理知

联立解得

…………………12分

18.解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件
，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件
，由于事件
?
互斥，且

∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为

……………………5分

（2）
可能的取值为0，1，2，3，

∴
的分布列为

0

1

2

3



P











…………10分

∴
的数学期望
…………………………12分

19.解：（Ⅰ）在
中，

， 易得
，

面

面


面


…4分

（Ⅱ）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为
轴，DC为
轴，过D垂直于平面BDC的射线为
轴，建立如图空间直角坐标系.

则D（0， 0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

设平面ABC的法向量为
，而
，

由
得：
，取
.

再设平面DAC的法向量为
，而
，

由
得：
，取
，

所以
，所以二面角B-AC-D的大小是
…………………8分

（Ⅲ）由于
均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心在AD中点，

又
，所以球半径
，得
. …………………12分

20．解析：（1）设
的标准方程分别为：

和
代入抛物线方程中得到的解相同，
…………………………2分，

且
和
在椭圆上，代入椭圆方程得
故
的标准方程分别为
　　　　　　　　　　　　　…………………………5分

设直线
的方程为
将其代入
消去
并化简整理得

与
相切，

…………………………7分，

设切点
则
又直线
与
的准线
的交点
以
为直径的圆的方程为

　　　　　…………………………10分，

化简并整理得
恒成立，故
即存在定点
合题意。　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………12分

21.解析：(1)
，由
经检验符合题意……3分

(2)依题意知，不等式
在
恒成立.令
,

当k≤0时,取x＝1,有
，故k≤0不合．

当k＞0时， g′(x)＝－2kx＝
.

令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1. ……………………………4分

①当k≥时， ≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合题意．

②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，

故g(x)在内单调递增，因此当取x0∈时，g(x0)＞g(0)＝0，不合．

综上，
. …………………………8分

(3)证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．

当n≥2时，在(2)中取k＝，得
……………9分

取x=代入上式得:-ln(1+)≤＜
………10分

≤2－ln3＋

－ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2.

综上，－ln(2n＋1)＜2，
……………………………… 12分

22.（Ⅰ）证明：
切⊙
于点
，

平分

，

………………5分

（Ⅱ）证明：

∽
，

同理
∽
，

………………10分

23.解：（Ⅰ）由
得x2＋y2＝1，

又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，

∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.

∴x2＋y2－x＋y＝0，即
………………5分

（Ⅱ）圆心距
，得两圆相交

由得，A(1,0)，B
，

∴
………………10分

24. 解：（Ⅰ）原不等式等价于

或
………………3分

解，得

即不等式的解集为
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………5分

（Ⅱ）
　　　　　　　 ………………8分

。 　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分