天津一中2012-2013学年高三年级一月考

数学试卷（文）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.
是虚数单位,复数
( )

A．
　 B．
　 C．
　 　 D．

【答案】A

【解析】
，选A.

2.已知全集
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】
，
，所以
，所以
，选B.

3.
，
，则
与
的大小关系为 （ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】

，因为
，
，所以
，
，所以
，所以
，选D.

4. 函数
的最小值和最大值分别为( )

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】

,因为
，所以当
时，函数有最大值
，当
时，函数有最小值
，选C.

5. 已知函数
，则
是( )

A．最小正周期为
的奇函数 B.最小正周期为
的奇函数

C.最小正周期为
的偶函数 D.最小正周期为
的偶函数

【答案】D

【解析】
,所以函数为偶函数，周期
，选D.

6. 要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上所有的点（ ）

A．横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）,再向左平行移动
个单位长度

B.横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度

【答案】C

【解析】将函数
的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
，然后向左平移
个单位得到函数
，选C.

7. 函数
的图象是（ ）

【答案】A

【解析】函数为偶函数，图象关于
轴对称，所以排除B,D.又
，所以
，排除C，选A.

8. 定义域为
的函数
满足
，
，若
，且
，则 （ ）.

A．
B.

C.
D.
与
的大小不确定

【答案】B

【解析】由
可知函数的关于
对称，当
时，
，函数单调递减，当
时，
，函数单调递增，因为
，且
，所以讨论：若
，函数因为函数单调递减，则有
，若
，由
得
，即
，函数在
时，单调递增，即
.即
，综上可知，
，选B.

二、填空题（每小题5分，共30分）

9. 已知
，sin(
)=－
sin
则cos
=________.

【答案】

【解析】因为
，所以
，所以
，即
.又
，所以
，即
.又

.

10. 在
中，若
，
，
，则
．

【答案】

【解析】由
，得
，根据正弦定理得
，即
，解得
.

11. 已知向量
，若
，则
．

【答案】

【解析】
，因为
，所以
，即
，解得
.

12. 已知
为
的三个内角
的对边，向量
，
．若
，且
，则角
．

【答案】

【解析】因为
，所以
，即
，所以
，所以
.又
，所以根据正弦定理得
，即
，所以
，即
，所以
，所以
.

13.如右图，
是半圆的直径，点
在半圆上，
，垂足为
，且
,设
，则
．

【答案】

【解析】设圆的半径为
，因为
，所以
，即
，所以
,
,
,由相交弦定理可得
,所以
，所以
.

14. 在四边形
中，
，
，则四边形
的面积为 ．

【答案】

【解析】由
，可知四边形
为平行四边形，且
，因为
，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为
，且对角线
对于边长的
倍， 即
, ,则
,即
,所以三角形
的面积为
，所以四边形
的面积为
.

三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）

15．已知
为
的三个内角
的对边，且
（I）求
的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

16．已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数
在区间
上的值域

17．已知
为
的三个内角
的对边，向量
，
,
⊥
．

（I）求角B的大小；（Ⅱ）若
，
，求
的值．

18. 已知函数
,若
在
处的切线方程为
.（I）求函数
的解析式；（Ⅱ）若对任意的
，都有
成立，求函数
的最值.

19．已知函数

（I）求
的单调区间与极值；

（Ⅱ）若函数
上是单调减函数，求实数
的取值范围.

20．设函数
，
，其中
，将
的最小值记为
．（I）求
的表达式；（II）讨论
在区间
内的单调性并求极值．

天津一中2012—2013高三年级一月考

数学试卷（文科）答案

一、选择题：

ABDCDCAB

二、填空题：（每小题5分，共30分）

9．
10．

11．
12．

13．
14．

三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）

15．（I）由余弦定理：conB= sin
+cos2B= -

（II）由
∵b=2，

+
=ac+4≥2ac,得ac≤
,S△ABC=acsinB≤
(a=c时取等号)

故S△ABC的最大值为

16．（I）

对称轴方程

（II）

因为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

所以 当
时，
取最大值 1

又
，
当
时，
取最小值

所以 函数
在区间
上的值域为

17．（I）

（II）
，

综上

18. （I）
,

解得

（II）

的变化情况如下表：













2







+

0



0

+



















4






，

(
), 当
时,最小值为
,当
时，最大值为10

19．（I）函数
的定义域为

当
时，
，
的增区间为
，此时
无极值；

当
时，令
，得
或
（舍去）













0









极大值