天津新华中学2012－2013学年度第一学期高三年级第一次月考

数学试卷（文科）

一、选择题（每小题4分，共32分）

1. 集合
，则
（ ）

A. （1，2） B.
C.
D.

【答案】C

【解析】
,
，所以
,选C.

2. 给出如下四个命题

①若“
且
”为假命题，则
、
均为假命题

②命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

③“
”的否定是“
”

④在
ABC中，“
”是“
”的充要条件

其中不正确的命题的个数是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】若“
且
”为假命题，则
、
至少有一个为假命题，所以①不正确。②正确。“
”的否定是
，所以③不正确。在
ABC中，若
，则
，根据正弦定理可得
，所以④正确，所以不正确的个数为2个，选C.

3. 若角
的终边上有一点
，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】因为
为第三象限，所以
，
，所以
，选B.

4. 公差不为零的等差数列
的前
项和为
。若
是
与
的等比中项，
，则
等于（ ）

A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

【答案】C

【解析】因为
是
与
的等比中项，所以
，又
，即
，解得
，所以
，选C.

5. 下图是函数
在区间
上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将
的图象上所有的点（ ）

A. 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

B. 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C. 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

D. 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】A

【解析】由图象知
，
，又
，所以
，所以函数为
，当
时，
，解得
，所以函数为

所以要得到函数
，则只要
先向左平移
单位，然后再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，选A.

6. 已知
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，设
，则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】
,
，
，因为
，因为
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，所以函数在
上单调递减，所以
，选C.

7. 若向量
与
不共线，
，且
，则向量
与
的夹角为（ ）

A. 0 B.
C.
D.

【答案】D

【解析】因为
，所以
，所以
，即向量夹角为
，选D.

8. 设定义在R上的函数
是最小正周期为
的偶函数，
是
的导函数，当
时，
；当
且
时，
，则函数
在
上的零点个数为（ ）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 8

【答案】B

【解析】由当x∈（0，π） 且x≠
时 ，
，知
时，

为减函数，当
。又
时，0＜f(x)＜1，在R上的函数
是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出
和
草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.选B.

二、填空题（每小题4分，共24分）

1. 设
，则
。

【答案】

【解析】由
，得
，即
，平方得
，所以
。

2.
中，内角A，B，C的对边分别是
。若
，则

【答案】

【解析】由
得
，代入
得
，所以
，
，所以
，所以
。

3. 已知函数
则

【答案】

【解析】因为
，所以
，即
，所以
。

4. 曲线
在点
处的切线方程为

【答案】

【解析】函数的导数为
，即在点
处的切线斜率为
，所以在点
处的切线方程为
，即
。

5. 等差数列
前n项和为
，已知
，
，则

【答案】

【解析】在等差数列中，由
得
，解得
或
（舍去）。又
，即
，解得
。

6. 设函数
，对任意
恒成立，则实数m的取值范围是

【答案】

【解析】已知f（x）为增函数且m≠0

若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。

M<0，时有
因为
在
上的最小值为2，所以1+
即
>1,解得
.

三、解答题（共44分）

1. 已知向量
且A、B、C分别为
的三边a，b，c所对的角．

（1）求角C的大小；

（2）若
。

2. 设函数f（x）＝cos（2x＋
）＋sin
x.

（1）求函数f（x）的最小正周期。

（2）若
，求函数f（x）的值域

（3）设A，B，C为
ABC的三个内角，若cosB＝
，
，且C为锐角，求sinA。

3. 已知
是函数
的一个极值点．

（1）求函数
的解析式；

（2）若曲线
与直线
有三个交点，求实数
的取值范围．

4. 已知
是正整数，数列
的前
项和为
，且满足
，数列
的前
项和为

（1）求数列
的通项公式；

（2）求
；

（3）设
比较
的大小.

【试题答案】

一、选择题（每小题4分，共32分）

1. C 2. C 3. B 4. C 5. A 6. C 7. D 8. B

二、填空题（每小题4分，共24分）

1.

2. 30°

3.

4.

5. 10

6. m<－1

三、解答题

1. 解：（1）

（2）
，

，
，

2. 解: （1）

f（x）＝cos（2x＋
）＋sin
x.＝
所以函数f（x）的最大值为
，最小正周期为
.

（2）函数f（x）

（3）
＝
＝－
，所以
，因为C为锐角，所以
，又因为在
ABC中，cosB＝
，所以
，所以

3. 解：（1）
得


 （2）曲线y＝f（x）与直线y＝2x＋m有三个交点 即
有三个根 即有三个零点 由
得x＝0或x＝3 由g′（x）＞0得x＜0或x＞3，由g′（x）＜0得0＜x＜3 ∴函数g（x）在（－∞，0）上为增函数，在（0，3）上为减函数，在（3，＋∞）上为增函数，要使g（x）有三个零点，

只需

解得：

4. 解:（1）当
时，由

解得

上两式相减：

即

.

（3）
，

.

的值最大，最大值为0，

因此，当
是正整数时，