江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试

理科数学

2013．05

全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．

第一部分

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题
卷相应的位置上）

已知集合
，则
▲ ．

若复数

是实数，则
▲ ．

已知某一组数据
，若这组数据的平均数为10，则其方差为 ▲ ．

若以连续掷两次骰子得到的点数
分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线
上的概率为 ▲ ．

运行如图语句，则输出的结果T＝ ▲ ．

若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则双曲线的离心率为 ▲ ．

已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为
，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．

将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，若
在
上为增函数，则
最大值为 ▲ ．

已知O是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是 ▲ ．

数列
中，
，
（
是常数，
），且
成公比不为
的等比数列，则
的通项公式是 ▲ ．

若对任意
，不等式
恒成立，则实数
的范围 ▲ ．

函数
的图象上关于原点
对称的点有 ▲ ．对.

在平面直角坐标系
中，已知点
是椭圆
上的一个动点，点P在线段
的延长线上，且
，则点P横坐标的最大值为 ▲ ．

从
轴上一点A分别向函数
与函数
引不是水平方向的切线
和
，两切线
、
分别与
轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为
，△OAC的面积为
，则
+
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求
的最小正周期；

（2）在
中，
分别是
A、
B、
C的对边，若
，
，
的面积为
，求
的值.

16．（本小题满分14分）

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．

（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；

（2）若
，AB=BC=2，P为AC中点，求三棱锥
的体积。

17．（本小题满分15分）[来源:学科网ZXXK]

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为
亿元，其中用于风景区改造为
亿元。该市
决
定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少
亿元，至多
亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若
，
，请你分析能否采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案；

（2）若
、
取正整数，并用函数模型y＝
作
为生态环境改造投资方案，请你求出
、
的取值．

[来源:学|科|网]

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

18．（本小题满分15分）

椭圆
的右焦点为
，右准线为
，离心率为
，点
在椭圆上，以
为圆心，
为半径的圆与
的两个公共点是
．

（1）若
是边长为
的等边三角形，求圆的方程；

（2）若
三点在同一条直线
上，且原点到直线
的距离为
，求椭圆方程．[来源:学。科。网]

19．（本小题满分16分）

已知函数
，
，（
）．

（1）求函数
的极值；

（2）已知
，函数
，
，判断并证明
的单调性；

（3）设
，试比较
与
，并加以证明．

20．（本小题满分16分）

设满足以下两个条件的有穷数列
为

阶“期待数列”：

①
；②
．

（1）若等比数列
为
(
)
阶“期待数列”，求公比
；

（2）若一个等差数列
既是
(
)阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记
阶“期待数列”
的前
项和为
：

（ⅰ）求证：
；

（ⅱ）若存在
使
，试问数列
能否为
阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时
间30分钟）

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．

21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）

已知矩阵
，向量
．求向量
，使得
．

21．C 选修4 - 4：坐标系与参数方程（本题满分10分）

在直角坐标系
内，直线
的参数方程为

为参数
．以
为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
.判断直线
和圆
的位置关系.

22．（本题满分10分）

某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要
求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成。

（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

（2）若考生乙每题正确完成的概率都是
，且每题正确完成与否互不影响。试从至少正确完成2题的概
率分析比较两位考生的实验操作能力．

23．（本题满分10分）

（1）设
，试比较
与
的大小；

（2）是否存在常数
，使得

对任意大于
的自然数
都成立？若存在，试求出
的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

参考答案

第一部分

2013．05

1．
2．
3． 2 4．

5．625 6．
7．
8．

9．

10．
11．

12．3

13．

提示：设
，由
，得
，

=
=
=
，

研究点P横坐标的最大值，仅考虑
，

（当且仅当
时取“=”）．

14．8

提示：
，设两切点分别为
，
，（
，
），

：
，即
，令
，得
；

令
，得
．

：
，即
，令
，得
；令
，得
．

依题意，
，得
，

+
=
=
=
，

=
，可得当
时，
有最小值8．

15． 解：（1）

4分

6分

（2）由
，
，

又
的内角，
，

，
8分

，
，
，
11分

，
14分

16．证：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，

∴A A1⊥BC，

∵AD⊥平面A1BC，

∴AD⊥BC，

∵A A1 ，AD为平面ABB1A1内两相交直线，

∴BC⊥平面ABB1A1，

又∵
平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面ABB1A1

7分

(2) 由等积变换得
，

在直角三角形
中，由射影定理(
)知
，

∵
，

∴三棱锥的高为
10分

又∵底面积
12分

∴
=
14分

法二：连接
，取
中点
，连接
，∵P为AC中点，

,
,　 9分

由（1）AD⊥平面A1BC，∴
⊥
平面A1BC，

∴
为三棱锥P- A1BC的高， 11分

由（1）BC⊥平面ABB1A1　
，
12分

， 14分

17．解：（1）∵
，

∴函数y＝
是增函数，满足条件①。 3分

设
，

则
，

令
，得
。

当
时，
，
在
上是减函数；

当
时，
，
在
上是增函数，

又
，
，即
，
在
上是增函数，

∴当
时，
有最小值0.16=16%>15%，

当
时，
有最大值0.1665=16.65%<22%,

∴能采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案。 9分

（2）由(1)知
，

依题意，当
，
、
时，
恒成立；

下面求
的正整数解。

令
， 12分

由(1)知